Представление функции в виде полинома Жегалкина

1. Представим любую функцию формулой над { x ₁& x ₂,} и сделаем замену = x 1. Этот способ удобен, если функция задана формулой.

Пример 2 ..

Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod 2 дает 0.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.

Пример 3. Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f (x ₁, x ₂, x ₃) = (01101001) = а _{0 Å} а ₁ х ₁ Å а ₂ х _{2 Å} а ₃ х _{3 Å} b ₁ x ₁ x _{2 Å} b ₂ x ₂ x ₃ Å b ₃ x ₁ x ₃ Å cx ₁ x ₂ x ₃. Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f (0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f (0, 0, 0) = а ₀, отсюда а ₀ = 0. f (0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f (0, 0, 1) = а _{0 Å} а ₃, т.к. а ₀ = 0, отсюда а ₃ = 1. Аналогично, f (0, 1, 0) = 1 = а ₂, f(0, 1, 1) = 0 = а _{2 Å} а _{3 Å} b ₂ b ₂ = 0; а ₁ = 1; 0 = а _{1 Å} а _{3 Å} b ₃ b ₃ = 0; 0 = а _{1 Å} а _{2 Å} b ₁ b ₁ = 0; 1 = 1 Å1 Å1 Å c; c = 0; f (x ₁, x ₂, x ₃) = x _{1 Å} x _{2 Å} x ₃.

3. Многочлен Жегалкина можно получить также с помощью треугольника Паскаля по единицам его левой стороны по таблице следующим образом. Построим многочлен Жегалкина для функции f = (10011110). Верхняя сторона треугольника есть функция f. Любой другой элемент треугольника есть сумма по модулю для двух соседних элементов предыдущей строки. Левая сторона треугольника для функции f содержит шесть единиц. Многочлен Жегалкина будет содержать шесть слагаемых. Первая единица треугольника соответствует набору (000). Первое слагаемое многочлена есть 1. Третья снизу единица в левой стороне треугольника соответсвует набору (101). В качестве слагаемого многочлена берем x ₁ x ₃. Аналогично для других единиц треугольника. Слева от наборов показаны слагаемые многочлена Жегалкина.

Тогда