Представление функции в виде полинома Жегалкина

1. Представим любую функцию формулой над { x ₁& x ₂, } и сделаем замену . Этот способ удобен, если функция задана формулой.

Пример 16. (x ₁ (x ₂ x ₃))(x ₁ Ú x ₂) x ₃ = ( Ú Ú x ₃)(x ₁ Ú x ₂) x ₃ =

Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod 2 дает 0.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.

Пример 17. Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f (x ₁, x ₂, x ₃) = =(01101001) = а ₀Å а ₁ х ₁Å а ₂ х ₂Å а ₃ х ₃Å b ₁ x ₁ x ₂Å b ₂ x ₂ x ₃Å b ₃ x ₁ x ₃Å cx ₁ x ₂ x ₃.

Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. f (0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив набор (0, 0, 0) в полином, получим f (0, 0, 0) = а ₀, отсюда а ₀ = =0. f (0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим f (0,0,1)= а ₀ Å а ₃, так как а ₀ = 0, отсюда а ₃ = 1. Аналогично f (0, 1, 0) = =1= а ₂, f (0, 1, 1) = 0 =

= а ₂ Å а ₃ Å b ₂ = b ₂ = 0; а ₁ = 1; 0 = а ₁ Å а ₃ Å b ₃ = b ₃ = =0; 0 = а ₁ Å а ₂ Å b ₁ = = b ₁ = 0; 1 = 1 Å 1 Å 1 Å c; c = 0; f (x ₁, x ₂, x ₃) = x ₁ Å x ₂ Å x ₃.

3. Многочлен Жегалкина можно получить также с помощью треугольника Паскаля по единицам его левой стороны по таблице следующим образом. Построим многочлен Жегалкина для функции

f = (10011110). Верхняя сторона треугольника есть функция f. Любой другой элемент треугольника есть сумма по модулю для двух соседних элементов предыдущей строки. Левая сторона треугольника для функции f содержит шесть единиц. Многочлен Жегалкина будет содержать шесть слагаемых. Первая единица треугольника соответствует набору (000). Первое слагаемое многочлена есть 1. Третья снизу единица в левой стороне треугольника соответствует набору (101). В качестве слагаемого многочлена берем x ₁ x ₃. Аналогично для других единиц треугольника. Слева от наборов показаны слагаемые многочлена Жегалкина (табл. 20).

Таблица 20

Тогда