2014-02-02
684
Свойство 1. 
.
Доказательство следует из того, что 
есть предел отношения неотрицательной величины к положительной величине:
.
Или из того, что 
– неубывающая функция своих аргументов.
Свойство 2. Вероятность попадания двумерной случайной величины 
в область 
равна 
. (22.2)
Доказательство. Согласно формуле (22.1) для любой точки 
имеем право записать приближенное равенство для значения вероятности попадания в прямоугольник 
: 
.
Пусть произвольная область . Обозначим событие, состоящее в попадании случайной точки в область D, так: 
.
Разобъём область прямыми, параллельными осям координат на п прямоугольников со сторонами 
и 
. Для простоты будем полагать, что эти прямые пересекают границу области D не более, чем в двух точках. Так как события, состоящие в попадании случайной точки в прямоугольники 
, несовместны, то вероятность попадания в область D может быть приближённо выражена формулой:
Переходя к пределу при 
и 
, получим 
.
Замечание 4. Геометрически равенство (22.2) можно истолковать так: вероятность попадания случайной точки в область D равна объёму тела, ограниченного сверху поверхностью плотности распределения , основанием которого является проекция этой поверхности на плоскость ОХУ.
Замечание 5. Выражение 
называют элементом вероятности. Элемент вероятности определяет вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами 
и 
.
Свойство 3. Интегральная функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через её плотность вероятности по формуле: 
. (22.3)
Доказательство непосредственно следует из определения дифференциальной функции распределения.
Свойство 4. 
.
Доказательство. Двойной несобственный интеграл 
есть вероятность попадания случайной точки 
в 
. Событие 
является достоверным. Поэтому .
