Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
Определение 1. Двумерная случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов в , и всюду (за исключением, может быть, конечного числа кривых) имеет вторую смешанную производную .
Следствие. .
Доказательство следует из формулы (21.1) при и с учётом непрерывности функции распределения .
Замечание 1. Согласно формуле (21.1) вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и будет равна:
.
Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике будет равна:
.
Переходя к пределу при и , получим
Определение 2. Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная её функции распределения: .
Замечание 2. Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины представляет собой поверхность распределения в пространстве .
|
|
Замечание 3. Согласно замечанию 1, функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю: . (22.1)