Свойства коэффициента корреляции

Свойство 1. .

Доказательство следует из определения 5 и равенства .

Свойство 2. Если случайные величины Х и У независимы, то .

Доказательство следует из того, что для независимых случайных величин .

Свойство 3. Для любых случайных величин Х и У .

Доказательство. Так как , а , то . Следовательно, .

Свойство 4. .

Доказательство.

.

Свойство 5. Если , то случайные величины Х и У связаны линейной функциональной зависимостью.

Доказательство. Рассмотрим случайные величины Х и У, соответствующие им нормированные случайные величины и , и случайные величины . Очевидно, что случайные величины принимают только неотрицательные значения, следовательно, для их математических ожиданий справедливо неравенство (см. доказательство свойства 5 для корреляционного момента):

.

Если , то при соответственно . Так как неотрицательные случайные величины имеют математические ожидания, равные нулю, то, следовательно, и сами величины тождественно равны нулю:

, , при , или

при и при .

Т.е. Х и У связаны линейной функциональной зависимостью.