Двумерный нормальный закон распределения

Определение1. Двумерная случайная величина называется распределённой по двумерному нормальному закону, если её совместная плотность распределения имеет вид: , где ,

, – математические ожидания случайных величин Х и У,

, – средние квадратические отклонения случайных величин Х и У,

– коэффициент корреляции случайных величин Х и У.

Замечание 1. Используя формулы § 22, можно убедиться, что каждый из законов распределения случайных величин Х и У является нормальным с параметрами соответственно , .

Замечание 2. Согласно § 22, условные плотности вероятности случайных величин Х и У имеют вид:

,

Можно убедиться в том, что каждый из условных законов распределения случайных величин Х и У является нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, определяемыми по формулам:

, , , .

Из приведённых формул следует, что

1) линии регрессии и нормально распределённых случайных величин представляют собой прямые линии, т.е. нормальные регрессии У по Х и Х по У всегда линейны;

2) условные дисперсии и постоянны и не зависят от значений или .

Теорема 1. Для нормально распределённых случайных величин понятия некоррелированность и независимость равносильны.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть случайные величины Х и У распределены нормально и некоррелированы. Тогда , и их совместная плотность распределения имеет вид:

. По необходимому и достаточному условию независимости случайных величин, величины Х и У независимы.

2) Достаточность. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю, следовательно, они некоррелированы.

Замечание 3. Поверхность двумерного нормального распределения называют «палаткой Гаусса». Сечения этой поверхности плоскостями и имеют форму нормальных кривых с центрами, лежащими на линии регрессии У по Х и Х по У, и со средними квадратическими отклонениями, равными и . Сечение поверхности нормального распределения плоскостью (), представляет собой эллипс, называемый эллипсом рассеяния: , где . Центр эллипса находится в точке , а его оси образуют с осью Ох углы α и , где α определяется из условия .