Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Если спроектировать уравнение моментов для системы материальных точек на выделенное направление (ось вращения), вдоль которого направим координатную ось Оz, то получим основной закон динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

. (4.2)

Скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой же оси всех внешних сил, действующих на тело.

Как находить проекцию момента внешних сил на ось вращения, мы уже знаем (формула 4.1), найдём теперь выражение для момента импульса L _z тела, вращающегося относительно неподвижной оси вращения Oz с угловой скоростью w. Нам известна формула для момента импульса материальной точки:

, (4.3)

и мы знаем, что полный момент импульса системы материальных точек равен

, (4.4)

где – момент импульса і -й материальной точки.

Для того чтобы воспользоваться формулами (4.3…4.4), мысленно разобьем тело на достаточно малые области, такие, чтобы скорости всех точек такой области можно было считать постоянными.

Представим радиус-вектор i- й материальной точки в виде (рис. 4.2)

Вектор перпендикулярен оси вращения, а вектор – параллелен ей.

Рисунок 4.2 – Радиус-вектор і-й материальной точки

Тогда момент импульса і -й материальной точки запишется в виде

. (4.5)

Первое слагаемое в выражении (4.5) даёт вектор, перпендикулярный оси вращения (см. рис. 4.2), и его проекция на ось Оz равна нулю. Второе слагаемое дает вектор, направленный вдоль оси вращения. Таким образом, с учётом того, что , можно записать:

. (4.6)

В формуле (4.6) мы учли, что линейная скорость материальной точки v _i связана с угловой скоростью вращения формулой (a _i – радиус окружности, по которой движется i -я точка твердого тела). Угловая скорость вращения w – одинакова для всех точек вращающегося тела, тогда на основании формулы (4.4) сразу получаем выражение для проекции момента импульса тела на ось вращения:

. (4.7)

Здесь мы ввели обозначение

. (4.8)

Физическая величина, описываемая формулой (4.8), называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Теперь основной закон динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (4.2), запишется в виде

. (4.9)