Контур с током в магнитном поле

Пусть у нас имеется плоский контур с постоянным током I в однородном магнитном поле B, причём поле направлено, как показано на рис.3.9. В соответствии с законом Ампера на элемент тока действует сила

. (3.28)

Чтобы получить полную силу, действующую на контур, необходимо проинтегрировать уравнение (3.28). При этом учтём, что магнитное поле и сила тока – величины постоянные.

,

поскольку . Таким образом, получили, что результирующая сила, действующая на контур в постоянном магнитном поле, равна нулю. Продолжим наш анализ дальше.

На выделенный элемент тока слева действует сила dF₁, направленная от нас, а на выделенный элемент тока справа действует сила dF₂, направленная на нас. Модули этих сил равны по величине. В самом деле,

dF₁=IBdl₁sina₁=IBdy,

dF₂=IBdl₂sina₂=IBdy.

Мы получили, что на противоположные участки контура действуют две противоположно направленные и одинаковые по величине силы, которые создают вращательный момент:

dN=IBxdy=IBdS. (3.29)

Здесь dS=xdy – площадь заштрихованной полоски. Из рис.3.9 видно, что векторы n (единичный вектор нормали к поверхности контура – ds=n dS), B и N образуют правовинтовую систему, следовательно, можно записать, что

d N = I [ n,B ] dS (3.30)

и

N = ò I [ n,B ] dS= I [ n,B ] ò dS = I [ n,B ] S = [ IS n,B ] = [ p_m ,B ]. (3.31)

Здесь p_m = IS n – так называемый магнитный момент контура с током. Таким образом, получили, что на контур с током в магнитном поле действует вращательный момент

N = [ p_m, B ]. (3.32)

Модуль выражения (3.28) равен

N = p_mBsina. (3.33)

Можно показать, что если направления магнитного момента и магнитного поля совпадают, то магнитные силы стремятся растянуть контур, а если магнитный момент и магнитное поле имеют противоположные направления, то магнитные силы стремятся сжать контур.

Для того чтобы увеличить угол между магнитным моментом и внешним магнитным полем на da, необходимо внешними силами совершить работу против магнитных сил, создающих вращательный момент (3.33):

dA = p_mBsina× da. (3.34)

Эта работа пойдёт на увеличение механической составляющей потенциальной энергии контура с током в магнитном поле:

dWмех = p_mBsina× da. (3.35)

Интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю (тем самым мы просто смещаем начало отсчёта потенциальной энергии), получим

W_mech = – p_mBcosa = – p_mB. (3.36)

Из выражения (3.36) следует, что если направления магнитного момента и магнитного поля совпадают, то потенциальная энергия будет иметь минимум и это будет положение устойчивого равновесия. Если же направления магнитного поля и магнитного момента антипараллельны, то это будет соответствовать максимуму потенциальной энергии и, следовательно, это будет положение неустойчивого равновесия.