2014-02-03
597
Рис.76
Рис.75
Кинетическая энергия колечка 
Где 
, а 
и 
.
Поэтому 
Составляем два уравнения Лагранжа
и 
Так как 
то уравнения получаются такими:
или 
Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.
Пример 26. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ, которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.76). Длина балочки АВ = l, вес – Р.
В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом φ (рис.76).
Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии 
, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и 
(
равно длине дуги окружности с углом 
).
Поэтому 
(см. рис.76) и 
.
Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)
|
|
|
T = 
.
Находим необходимые производные для уравнения 
Составляем уравнение
или, окончательно,
.
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Условия равновесия механических систем.
2. Устойчивость равновесия.
3. Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости.
