Уравнения Лагранжа

По определению (7) и (12) обобщенные силы

.

Сумма их или

.

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…, s) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

(k = 1,2,3,…, s). (18)

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

(19)

или (k = 1,2,3,…, s), (20)

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q_j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими. Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Так как и , то

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

(21)

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

Пример 25. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 23).

Обобщенные координаты назначены – и (рис.75). Обобщенные силы определены: и .