Понятие простых и сложных процентов. Дисконтирование и наращивание

С помощью финансовой математики разработаны алгоритмы, позволяющие определить истинную стоимость денег с позиций настоящего и будущего времени.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы (Р) при условии, что в будущем будет возвращена сумма (F). Эффективность сделки может быть определена с помощью двух величин: темпа прироста и темпа снижения.

Темп прироста определяется как:

(1)

Данный показатель называется процентом роста (процентной ставкой), нормой доходности r (t)

Второй показатель – темп снижения:

(2)

Этот показатель называется дисконт, учётная ставка, ставка дисконтирования, коэффициент дисконтирования. Очевидно, что оба эти показателя взаимосвязаны.

	(3)
	(4)

Оба показателя выражаются либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах в том, какая величина берется за базу сравнения:

1) исходная сумма;

2) возвращаемая сумма.

Абсолютную величину дохода от предоставления денег в кредит в финансовых расчетах называют процентами. Отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды называют процентной ставкой. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби. При заключении финансового или кредитного соглашения кредитор и заёмщик договариваются о размере процентной ставки.

Интервал, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом наращения, а процесс начисления денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или компаудингом. На практике существуют различные способы начисления процентов:

§ простые проценты;

§ сложные проценты

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление, то есть начисление идет на первоначальную сумму долга:

(5)

Вопрос сложных процентов является ключевым в инвестиционном анализе. Схема сложных процентов предусматривает их капитализацию, а это значит, что база, с которой происходит начисление, постепенно возрастает, то есть начисление идет не только на первоначальную сумму, но и на полученные ранее проценты.

	(6)

При выплате дивидендов договариваются не только о процентной ставке, но и о частоте выплат. Более частые начисления сложных процентов обеспечивают наиболее быстрый рост наращиваемой суммы. Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

При начислении процентов - 12% годовых, сумма не эквивалентна 1-ому % в месяц. Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

Проиллюстрируем схемы начисления простых и сложных процентов. Например, у человека, на депозите лежит 100 рублей. Определим какая сумма будет лежать на счёте через 3 года при 10% годовых (проценты начисляются один раз в год)?

По схеме простых процентов: F =100*(1+3*0,1) = 130 рублей.

По схеме сложных процентов: F =100* (1+0,1)³ = 133,1 рублей.

Аналогично можно определить ожидаемую сумму в будущем по прошествии любого числа лет.

Операция, обратная операции наращивания, то есть определение по заданной сумме долга F, которую надо заплатить через некоторое время t за сумму полученной ссуды P, называется дисконтированием.

	(7)
	(8)

1/(1+г)ⁿ –FM2 - фактор, финансовый множитель, коэффициент дисконтирования, коэффициент приведения.

Фактор (FM2) для нулевого года равен 1, а для остальных лет всегда меньше единицы. Это свидетельствует о том, что сумма средств, находящихся в распоряжении сегодня, дороже той же суммы денег в будущем.

Пример: Какова первоначальная сумма вклада (Р), положенная на три года под 20% годовых на условии простых процентов, если в конце срока мы планируем получить 160000 рублей (на условии простых процентов)?

Р = 160 000 / (1 + 0,2 * 3) = 100 000 рублей

Термин “дисконтирование” также применяется в более широком смысле, то есть как средство определения любой величины (в стоимостном измерении) в текущий настоящий момент времени при условии, что в будущем она составит величину F, независимо, имела место финансовая операция, предусматривающая начисление процентов, или нет.

Следовательно, дисконтирование – это процесс приведения разновременных платежей к базовой дате (настоящему времени, текущему моменту времени)

Пример: Чему сегодня равна сумма в 1000 рублей, полученная через 10 лет, если ставка дисконтирования = 180%?

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учётная), называется процессом наращения. Речь идёт о приведении настоящего денежного потока к будущему времени.

Процесс, в котором ожидаемая (возвращаемая) в будущем к получению сумма приводится по ставке дисконтирования к нулевому году, называется процессом дисконтирования. Речь идёт о приведении будущего денежного потока к настоящему времени.