Непрерывность функции

5.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция у = f (x)определена в точке x ₀и в некоторой окрест­ности этой точки.

Определение 1. Функция у = f (x)называется непрерывной в точке x ₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функ­ции в этой точке, т. е.

= f (x ₀) (6.1)

Определение 2. Функция у = f (x)называется непрерывной в точке x₀, если для любой последовательности { x_n } точек из области определения функции сходящаяся к точке x₀, соответствующая последовательность { f(x_n) } значений функции f(x) сходится к f (x₀).

Равенство (6.1) означает выполнение трех условий:

1) функция f (x)определена в точке x ₀и в ее окрестности;

2) функция f (x)имеет предел при х → x ₀;

3) предел функции в точке x ₀равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (6.1).

Так как , то равенство (6.1) можно записать в виде

== f (x ₀) (6.2)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции,то есть в функцию f (x)вместо аргумента х подставить его предельное значение x ₀.

Пример. Вычислить А = .