Сходимость и непрерывность

Метрические пространства

Пространство сигналов

Для проведения анализа сложных сигналов их объединяют по не­которому признаку во множества. Например, такое множество обра­зуют аналоговые детерминированные сигналы. С сигналами при ана­лизе производят различные операции. Их складывают, умножают на числа, вычитают и т. п.

Объединив сигналы, обладающие некоторым общим свойством в одно множество, рассматривают отличительные признаки элементов этого множества. Конкретные сигналы интересны лишь в их отношении с другими сигналами множества. Например, отличительными признаками могут быть: энергия, длительность, частота, максимальная амплитуда, число пересечений нулевого уровня. При сравнении каждой паре элементов ставится в соответствие действительное, положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами, при этом само множество приобретает геометрические свойства. Множество с определённым на нём расстоянием представляет собой пространство сигналов.

Для определения расстояния необходим функционал, который отображает все пары элементов множества на действительную ось. Такой функционал

называется метрикой, если он обладает следующими свойствами:

− положительная определённость, симметрия, неравенство треугольника. Множество M с метрикой d называется метрическим пространством (M, d). Разные метрики образуют разные метрические пространства.

Пример 1:

Действительная ось, включающая множество всех действительных чисел, есть метрическое пространство с метрикой

− Это так называемая обычная метрика на R.

Пример 2:

На базе множества R ⁿ упорядоченных последовательностей n действительных чисел (вектор-строк из n чисел)

можно образовать различные пространства с метриками:

Эти метрики могут быть использованы и на множестве последовательностей комплексных чисел C ⁿ.

Понятие расстояния в метрическом пространстве позволяет анализировать важное свойство бесконечных последовательностей, называемое сходимостью.

Последовательность сходится, если существует такое, что для любого имеется целое положительное n ₀, такое, что

Это часто записывают так:

Любая последовательность, обладающая этим свойством, называется последовательностью Коши. Метрические пространства, в которых все последовательности сходятся, называются полными.

Одно из важных следствий введения метрических пространств состоит в том, что понятие непрерывности может быть обобщено на произвольное отображение одного метрического пространства в другое.

Пусть говорят, что отображение непрерывно в окрестности x ₀ если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что

,

где y = f (x) и y ₀= f (x ₀). Если f непрерывно во всех точках области определения, то говорят, что отображение непрерывно.

Для произвольного множества действительных или комплексных функций времени, заданных на определённом интервале

Могут быть определены метрики: