Пространства со скалярным произведением

Нормированные линейные пространства

Линейные пространства

Линейное пространство – это множество элементов (называемых векторами) обладающих следующими свойствами.

А. Для каждой пары векторов x, y из рассматриваемого множества имеется вектор (x + y) называемый суммой этих векторов, принадлежащий тому же множеству такой, что:

a) x + y = y + x; сложение коммутативно

b) x +(y+z)=(x + y)+ z; сложение ассоциативно

c) x + 0 = x; для любого вектора существует нулевой и обратный

d) x +(- x)= 0

Б. Имеется множество элементов называемых скалярами, которые образуют поле, а также операция умножения на скаляр, ставящая любому вектору x и скаляру α в соответствие α x такая что:

a) α(β x)= αβ x; умножение на скаляр ассоциативно

b) α(y+x)= α x + α y; законы

c) (α+β) x = α x + β x; дистрибутивности

d) 1 x = x; 0 x =0

Вектор − называется линейной комбинацией. Множество векторов называется линейно независимыми, если равенство справедливо только при всех α_i равных нулю.

Любое множество n линейно независимых векторов в M образуют его базисы. Говорят, что M натянуто на базис. Набор чисел является представлением вектора x в R ⁿ или C ⁿ по отношению к базису.

Объединение геометрических свойств, характерных для метрических пространств и алгебраических свойств выявленных в линейных пространствах достигается введением нормы вектора. Норма вектора – это действительное число, характеризующее «размер» элемента в линейном пространстве. Норма определяется любым отображением линейного пространства в действительную ось, удовлетворяющим следующим требованиям:

Норма вектора это расстояние точки от начала координат. Легко показать, что. Нормированное линейное пространство, являющееся полным метрическим пространством, называется банаховым. Нормы для R ⁿ и C ⁿ вводятся соотношением, а для действительных и комплексных функций времени, определённых на соотношением

Именно такое представление нормы используется для сигналов в силу простоты физической интерпретации квадрата нормы как энергии сигнала. Множество функций для которых эта норма ограничена называется пространством L ², обозначается L ² (T). Началом координат в этом пространстве является функция, равная нулю почти всюду на интервале T.

Дополним пространство еще одной геометрической характеристи­кой — скалярным произведением двух векторов. Скалярное произведение для аналоговых сигналов определяется по формуле

где * означает взятие комплексно сопряженного числа. Скалярное произведение равно взаимной энергии двух сигналов. Из определения скалярного произведения следует, что величина есть норма линейного пространства L²(T). Следовательно, скалярное про­изведение порождает норму, а норма в свою очередь порождает мет­рику. Пространство со скалярным произведением становится метрическим

Пространство со скалярным произведением, при условии, что оно одновременно является полным (банаховым), называется гиль­бертовым. В пространстве сигналов два элемента s_i и s_j ортогональ­ны, если. Взаимная энергия ортогональных сигналов равна нулю.