Рассмотрим уравнение инверсии для стационарного случая.
, где - параметр насыщения
- закон насыщения инверсии, ,
- поле,
Усреднение по резонатору (пространственное):
- точечная модель лазера.
Рассмотрим одночастотный режим (одномодовый)
- одна амплитуда
, где ,
Перейдем к комплексным амплитудам:
Максимальная скорость изменения поляризации: -изменение амплитуды во времени.
Приближение малости приводит к тому, что вторая производная уходит.
Т.О.остается уравнение 1 порядка (укороченное уравнение для поляризации)
(I) |
Процедура вычисления 1-й производной, 2-й производной и получение уравнения – аналогичная.
Либо можно воспользоваться укороченным уравнением, где заменить на ,
Уравнение для инверсии:
См. уравнение (I), , подставляем в предыдущее уравнение
Воспользовавшись этим выражением в правой части для инверсии вместо PP* получили ЕЕ*- величину, связанную с интенсивностью.
Для записи конечных уравнений удобным является язык фотонов в резонаторе.
|
|
Число фотонов в резонаторе:
, где
Воспользуемся записанным выше выражением для B21:
Необходимо получить уравнение для числа фотонов в резонаторе
, +
Воспользовавшись уравнением :
, или
Где - отвечает за потери фотонов, - характеризует появление фотонов за счет вынужденного испускания.
Плотность энергии
Уравнения для числа фотонов в резонаторе и инверсии населенностей можно получить более коротким путем.
Для двухуровневой системы. Кинетическая схема:
B21ρ – индуцированное испускание. А21 –вероятность перехода части с 2 на 1 (спонтанные переходы) B12ρ- резонансное поглощение B21= B12 |
-кинетическое уравнение, отвечает за населенность.
- общее чисто частиц.
Аналогично, ,
,
Подставляем N2 и N1 в уравнение для инверсии:
В стационарном состоянии в отсутствии генерации
Из этого уравнения будет вытекать:
(- зависит от параметров лазера)
Проведя алгебраические преобразования:
- время продольной релаксации.
Если есть порог:
, условие начала генерации =>
- исходное уравнение, которое должны были вывести.
, , - параметр насыщения