Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы  Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь .

Пример. Пусть . Напишите показательную форму числа .

Решение. Находим модуль и аргумент числа:

Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:

Пример. Комплексное число записано в показательной форме

Найдите его алгебраическую форму.

Решение. По формуле  Эйлера

Итак, алгебраическая форма числа: .

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть .

Тогда

Например,

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

1) z = 1 + i

,

Þ

;

2) 

,

Þ

Þ;

3) Þ

,

Þ

Þ

;

4),

;

5),

;

6),

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

7)

8)

.

9)

Вычислить (1 + i)10.

Решение:

10)

, так как ;

, так как ;

или , так как и .

11)

1)

, k = 0, 1, 2

,

,

.

Ответ:

12)

1);

2);

3) .

13)

Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,