Комплексные числа и действия над ними

Содержание

§1.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§2	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
§3.	ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§4	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§5.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
§6	ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§7.	ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ. ФОРМУЛА КОШИ
§8.	РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
§9.	РЯД ТЕЙЛОРА НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
§10.	РЯД ЛОРАНА ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
§11.	ВЫЧЕТЫ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ.
§12.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
	ЛИТЕРАТУРА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Уже простейшие алгебраические операции над действительными числами (извлечение квадратного корня из отрицательного числа, решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом) выводят за пределы множества действительных чисел. Дальнейшее обобщение понятия числа приводит к комплексным числам. Замечательным свойством множества комплексных чисел является его замкнутость относительно основных математических операций. Иначе говоря, основные математические операции над комплексными числами не выводят из множества комплексных чисел.

Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение

где – произвольные действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием .

Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis»), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius»).

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).

Комплексно-сопряженным к числу называется число . Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пусть , . Тогда

сумма ,

разность ,

произведение ,

частное (при )

Пример 1. Заданы комплексные числа , .

Найти , , .

Решение. ;

;

Задача 1. Пусть и – пара комплексно-сопряженных чисел. Показать, что их сумма есть действительное число, разность – мнимое число, а произведение есть действительное неотрицательное число.

Пример 2. Найти , .

Решение. ; .

Замечание. Степени числа можно представить в виде таблицы

Пример 3. Перемножить числа и .

Решение.

Пример 4. Вычислить а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Раскроем квадрат разности:

б) Раскроем куб суммы:

в) По биному Ньютона:

Можно было считать так: .

Пример 5. Найти частное , если .

Решение.

Пример 6. Вычислить а) , б) .

Решение. а) .

б) .

Запомним:

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат. Отложим по оси абсцисс действительную часть комплексного числа , а по оси ординат – его мнимую часть . Получим точку с координатами . При этом каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости. Верно и обратное: каждой точке плоскости можно поставить в соответствие комплексное число , действительная часть которого равна абсциссе точки, а мнимая часть равна ординате точки. Таким образом, между комплексными числами и точками плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Ранее мы говорили о взаимно однозначном соответствии между действительными числами и точками числовой прямой).

Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Для отличия её от действительной плоскости в правом верхнем углу пишут букву , обведенную кружком. Ось абсцисс на такой плоскости называют действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Комплексно-сопряженное число – это зеркальное отражение заданного комплексного числа относительно действительной оси. Начало координат называется нуль-точкой. Расстояние комплексного числа от начала координат называется модулем этого числа:

Задача 2. Доказать, что .

Модуль разности двух комплексных чисел – это расстояние между соответствующими точками:

Каждой точке комплексной плоскости поставим в соответствие вектор с началом в нуль-точке и концом в данной точке. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно. В такой интерпретации действительная и мнимая части комплексного числа – это первая и вторая компоненты вектора. Сумма представляется теперь диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , разность понимается как . Модуль комплексного числа представляет собой длину вектора. Геометрически очевидным является неравенство треугольника в комплексной плоскости: .

Пример 7. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

Решение. а) Так как , то заданное двойное неравенство можно переписать в виде: . Получили вертикальную полосу.

б) Так как , то заданное двойное неравенство перепишем в виде: . Получили горизонтальную полосу. Задачи в) и г) решить самостоятельно.

Пример 8. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль комплексного числа – это длина вектора, идущего из нуль-точки в точку , т.е. расстояние от начала координат до точки . Значит, в случае речь идет о геометрическом месте точек плоскости, равноудаленных от начала координат – это окружность (в данном случае радиус окружности равен 1). Можно было перевести задачу на язык декартовых координат:

б) Здесь речь идет о геометрическом месте точек, находящихся вне круга радиуса (с центром в начале координат).

в) точки находятся в кольце между окружностями радиуса и .

Пример 9. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль разности – это расстояние между точкой комплексной плоскости и точкой 1. Значит, речь идет о геометрическом месте точек, равноудаленных (на расстояние 1) от точки 1, – это окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0). На языке координат:

б) Точки находятся одновременно в круге с центром в начале координат и в круге с центром, смещенным в точку : .

в) Это точки правой полуплоскости , лежащие внутри круга : .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргументом комплексного числа называют угол , который составляет вектор с положительным направлением действительной оси, . Этот угол определяется неоднозначно:

Здесь – главное значение аргумента, оно выделяется неравенствами (т.е. на комплексной плоскости проводится разрез по действительной оси влево от начала координат).

В первом столбце указан для числа , лежащего на действительной или мнимой оси, а во втором столбце - для всех остальных комплексных чисел.

Обозначим . Так как , , то комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

Два комплексных числа и , заданных в тригонометрической форме

, ,

в силу неоднозначности аргумента равны тогда и только тогда, когда , .

Пример 10. Найти модули и аргументы, а также главные значения аргументов комплексных чисел . Записать каждое из них в тригонометрической форме.

Решение. Модули всех этих чисел одинаковы:

Аргумент каждого числа находим, учитывая четверть, в которой лежит соответствующая точка.

1) Точка лежит в первой четверти, значит,

В тригонометрической форме , здесь учтена - периодичность косинуса и синуса.

2) Точка лежит во второй четверти, значит,

3) Точка лежит в третьей четверти, значит,

4) Точка лежит в четвертой четверти, значит,

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:

Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем

. (1)

Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрический смысл этой операции: представляя числа и векторами на комплексной плоскости, исходящими из нуль-точки, видим, что вектор получается из вектора «растяжением» в раз и поворотом на угол .

Для частного получаем формулу:

. (2)

Пример 11. Найти произведение и частное чисел

и .

Решение. В соответствии с формулой (1) запишем:

Проверим результат, перемножая эти числа в алгебраической форме:

По формуле (2) находим

В алгебраической форме эта операция запишется так:

Возведение комплексного числа в степень. Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу

. (3)

Пример 12. Вычислить 1) ; 2) .

Решение. 1) Выше мы получили запись комплексного числа в тригонометрической форме: . По формуле (3) находим . Этот же результат был получен выше в примере 4в) с помощью бинома Ньютона.

2) Прежде всего представим число в тригонометрической форме.

, ,

точка лежит в четвертой четверти, значит, . Поэтому

Остается воспользоваться формулой (3):

Раскрывая куб разности, получим тот же результат (проверьте!).

При формула (3) превращается в формулу Муавра:

. (4)

С её помощью легко получаются соотношения, выражающие синусы и косинусы кратных углов с и .

Пример 13. Выразить и через и .

Решение. Полагая в формуле Муавра , получим:

Слева раскроем куб суммы и соберем подобные члены:

Здесь учтено, что . Пришли к равенству двух комплексных чисел в алгебраической форме

которое справедливо в том и только в том случае, когда равны действительные и мнимые части этих чисел.

Равенство действительных частей дает ;

приравнивая мнимые части, получаем .

Извлечение корня из комплексного числа. Если комплексные числа и связаны соотношением , то . Представим числа и в тригонометрической форме:

, .

Будем считать, что здесь – главное значение аргумента числа .

Наша задача – по заданному числу (т.е. по известным и ) определить (т.е. и ). В соответствии с формулой (3) равенство запишется в виде

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует:

Здесь – корень -ой степени из действительного неотрицательного числа. Значит, для корня -ой степени из комплексного числа получаем формулу

. (5)

Полагая последовательно , получим различных значений :

Все эти корни имеют одинаковые модули , т.е. соответствующие точки располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргументы двух соседних корней отличаются на угол . Значит, все значения корня -ой степени из комплексного числа находятся в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса .

Пример 14. Найти все значения корня -ой степени из комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости, если

1) , 2) , 3) , 4) .

Решение. 1) Прежде всего, найдем модуль и аргумент комплексного числа : . Формула (5) для примет вид

откуда ,

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса, один корень – является действительным числом. Аргументы двух соседних точек отличаются на угол . Заметим, что .

2) Здесь : , поэтому

откуда ,

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность , корень является действительным числом. Заметим, что . Сравните с результатом пр.12.2, где получили , т.е. .

3) Здесь : и при

откуда ,

4) Здесь и при

, откуда получаем два числа:

, .

Запомним: .

Задача 3. Выполнить задания пр.14, если 1) , 2) .

Пример 15. Разложить на линейные множители квадратный трехчлен

1) ; 2) .

Решение. 1) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант . Значит, действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями можем разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

2) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант , действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями разлагаем квадратный трехчлен на линейные множители: