Теплоемкость тела

§3.Теплоемкость.

 

    Теплоемкостью тела С называют отношение бесконечно малого количества теплоты δQ, полученного телом, к соответствующему приращению dT его температуры:

C = δQ / dT, или δQ = CdT                                          (7)

При единичной массе тела теплоемкость называют удельной C_уд. При масcе тела, равной 1 молю – молярной   С _М.

В системе СИ удельная измеряется в Дж/кг К, молярная – Дж/моль К.

    Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением: С_уд = С/М,  

где М – молярная масса.

    Если теплоемкость определяется в случае нагревания при постоянном объеме, ее называют теплоемкостью при постоянном объеме. Обозначают С_V.

Если тело нагревают при постоянном объеме, то оно не совершает работы и δQ = dU. Тогда молярная теплоемкость любого вещества при постоянном объеме C_V равна:

                   C_V = dU_M / dT, (8)

                                                      

В термодинамике  выражения подобные (8) записывают в виде:

C_V =                                                 (9)

Символ частной производной, снабженный индексом V указывает, что при дифференцировании функции U_М по переменной Т объем остается постоянным. Из формулы (8) следует, что:

                                (10)

Тогда с учетом формул (7) и (10) второе начало термодинамики для произвольного количества газа примет вид:

СdT = C_VdT + PdV                       (11)

Проинтегрировав  выражение (10), получим значение внутренней энергии моля идеального газа:

U_M = C_V dT + const,                       (12)

где внутренняя энергия определена с точностью до некоторой аддитивной постоянной.

 С учетом формул (7) и (10) второе начало термодинамики для произвольного количества газа примет вид:

СdT = C_VdT + PdV                     (11)

Если теплоемкость определяется в случае нагревания газа при постоянном давлении, ее называют теплоемкостью при постоянном давлении. Обозначают С_P. Получим связь между теплоемкостью газа при постоянном давлении С_P и теплоемкостью при постоянном объеме C_V.

Уравнение первого начала термодинамики запишется для моля газа, нагреваемого при постоянном давлении в виде:

dQ_P = dU_M  + РdV_М                                       (13)

(индекс р – показывает, что теплота сообщается газу при постоянном давлении). Разделив это выражение на dT, придем к формуле для теплоемкости при постоянном давлении:

                          (P=const)

Первый член в правой части этого уравнения есть C_V, тогда выражение может быть записано в виде:

                               (14)

Эта формула справедлива для любых газов. Если газ идеальный, то V_M = RT/P. Тогда если P = const, то .

Подставляя это значение производной в уравнение (14), получаем:

                                     (15)

Это уравнение называют уравнением Майера.

Т.о. работа, совершаемая молем идеального газа при повышении его температуры на 1 К равна газовой постоянной R.

Отношение теплоемкостей:  представляет собой характерную для каждого газа величину. Ее называют показатель адиабаты. Причину мы выясним ниже.

    Ниже мы также покажем, что значение γ определяется числом и характером степеней свободы молекул.

Из определения показателя адиабаты и уравнения Майера получаем соотношение:

                                    (16)

откуда следует, что:                                                          (17)

Подставив это выражение в формулу для внутренней энергии 1 моля газа, получим: .

Умножим обе части этого уравнения на m/M и учтем, что  = PV, тогда внутренняя энергия любого количества газа:

                U =  =                                       (18)