ЗБЧ. Теоремы: Чебышев и Хинчин

28. ЗБЧ. Теоремы: Чебышев и Хинчин.

Опр: X1, X2,.. –послед-тьслуч.вел, ak=EXk, для этой послд-ти выполняется ЗБЧ, если

P (|  - | >=  ) à 0 при n->

Чебышев:

X1,X2,…-независ.случ.век

Ak=EXk, =DXk. сущC>0:

Док-во: P(|  - |>= ) = P (|  - E |>=  ) =<  =  =  =< à 0 при nà

Хинчин: X1, X2,…-незав.случ.вел.,одинаковораспред., a=EXk, тогда выполняется ЗБЧ

P() à 0 при nà

29Центральная предельная теорема. Теорема Леви.

Х1, Х2… - независодинакраспределс.в., а=ЕХ_k

G^2=DX_k>0. Тогда ∀x∈R. P( <x)n→беск →Ф(х)=1/  *

30Случайная выборка.

Х1, Х2…Хn ~ F(x) – случ. Выборка, объема n. Независ, одинак. распред. и вел.

Статистика или оценка.

Рассм. ф-ю д.:R^n → R. д(Х1,Х2…Хn)= _n – функция от случ выборок

Выборочная ф-я распределения.

Fn(t)= (число тех Xi<t)/n =1/n * (Xi),

где  -Uα(x) – индикатор множества А

Uα(х) =

Выборочные моменты.

Пусть k≥1 A_k=1/n *  – выбороч моменты k-го порядка.

αk=1/n – центр выб моменты k-го порядка

Порядковые статистики.

 Построим вариат ряд X1, X2…Xn. X1=min(X1…Xn) – min пор стат

X2=…след знач…Xk к-я поряд стат. Xn = max(X1…Xn) – max пор стат

Вариационный ряд.

Упорядоченная по величине послед-ть выборочных значений наблюдаемой величины. X_(n+1)/2

Выборочные квантили.

0<α<1 α=X[αn]+1– выб квантиль порядка α

([an] – целая часть)

Медиана выборки.

– выб квантиль порядка α=1/2. _1/2 = _1/2 =

Выборочная cov ковариация.

(X,Y) = 1/n

Выборочный коэф корреляции.

R_n(X,Y)=  , где S^2=1/n