Независимые события. Виды независ Бернштейна

1 2 3 4 5 6

8)Независимые события. Виды независ Бернштейна

(Ω,F,P), A,B€F, P(A|B)=P(A)

Опр: A,B- независ↔P(A∩B)=P(A)*P(B)

Для большего числа соб:

A1,A2…An€F

1случай (попарная независимость)

Попарно незав, если ∀i=jAi,Aj-незав

2случай (взаимная независимость) вз. Нез,если∀k≤n и ∀ 1≤i1<i2…<ik≤n

P(Ai1∩Ai2∩..Ain)=к,j=1ПP(Aij)

Бернштейн. Подбросим тетраэдер. Цвета граней: К,Б,С+КБС

Ak=(внизу красный) Ас=(вн. Синий) Аб=(вн белый)

P(Ak)=1/2=P(Аб)=Р(Ас)

Р(Аб∩Ас)=1/2*1/2=1/4=Р(Аб)*Р(Ас)

Р(Ак∩Аб∩Ас)=1/4≠1/2*1/2*1/2≠Р(Ак)*Р(Аб)*Р(Ас)

Из взаимной следует попарная, но не наоборот

9) Испытания Бернулли. Фор-ла

n независимых испытаний Бернулли-это n испытаний с 2-мя исходами в каждом испытаний (называемыми условно «успехом» и «неудачей») И с постоянной вер успеха в каждом испытании

Н1Y2…Yn

P (при к-м испытании Y)=p ∀1≤k≤n

A=(в n испытаниях произошло =k успехов)

P(A)=?

Расм след цепочку из n эл-ов

(H1,H2,Y3…Hn-1,Yn)=P(H1)*P(H2)…P(Hn-1)*P(Yn)=p^k(1-p)^n-k

P(A)=Cn^k*p^k(1-p)^n-k=Pn(k) вер в nиспполучk успехов

Pn(n)=p^n

Pn(0)=(1-p)^n

Pn(≥1)=1-(1-p))^n

10)Лок пред теор Муавра-Лапласа

Xn,k=(k-np)/√npq, где q=1-p

∀k, таких, что |Xn,k|≤n^1/6-Ԑ

Pn(k)=(1/ /√npq)ϕ(Xn,k)

11. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа. Формулировка и примеры.

Формулировка: Pn(a≤k≤b) ≈ * du
Доказательство:
du =
S= = Ф(𝞫)-Ф(𝞪)
Ф(у)= du
= Ф()-Ф()
Пример:
1600 студентов. Р(число дней рождения летом
р=1/4.
Р1600 (390 ) = 1-Ф(- ) = 1-1+Ф() = Ф().
12. Закон больших чисел в схеме Бернулли.
∀ε>0
Pn (| - p|≥ ε) 0, где Kn- число успехов в n испытаниях.
Pn (| - p| ε) 1
*p=P(Y). - частота успехов.
Доказательство:
Pn (| - p|≥ ε) = 1- Pn (| - p| ε) = du – P(p- = du – P(np-n = du+ du – Pn(np-
13. Теорема Пуассона в схеме серий испытаний Бернулли.
1я серия из 1 испытания с вероятностью успеха р1
2я серия из 2 испытаний ….. ……………....р2
n-я серия из n испытаний с вер успеха pn.
Пусть n*pn = λ .
Тогда Pn (k) *e^(-λ) для любого фиксир к.

Если к-мало, то Pn(k) * e^(-np) p-малое, k-малое.
Доказательство:
К- фиксированное число.
Pn(k)= * pn^k (1-Pn)^(n-k) = * * pn^k*(1-pn)^(n-k)*n^k= *1*(1-1/n)*(1-2/n)…*(1- )* (pn*n)^k * (1-pn)^k * (1-pn)^ (-k) = * 1*(1-1/n)*…*(1- )* * (1-𝜆/n)^n * (1-𝜆/n)^(-k) (Первые две скобки при n *

(
Опр: Случайной величиной X:𝛺 (
Пример:
𝛺=
X1: X1(Wi)= (скобка квадратная!)
X2: X2(Wi) = (скобка квадратная!)
X3: X3(Wi)=i

15. Распределение, функция распределения. Свойства функции распределения.
Распределение – это закон, который описывает область значений случ вел и вероятность их исхода.
Опр: функция распределения случ вел Х это Fx:R
Свойства:
1) 0
2) Fx(x)- неубывающая.
Док-во:
пусть
Fx(y)=P(x
3) Fx(x)- непрерывная слева
4) Fx(x)
5) P(a
16. Случайные величины с дискретным распределением. Примеры.
Х- случ вел с дискретным законом распределения, если Х принимает конечное или счетное число значений.
* пусть а1,а2- все возможные значения случ вел х. р1,р2-соответсвующие вероятности. То есть pк это есть вероятность события, что x принял значение a с номером К. Т.е. pk=P(X=ak)=P(w:X(w)=ak)
Свойства чисел pk:
1) pk
2)
Примеры:
1) Х: С
Р: 1
Случ вел с вырожденным в т.С распределением.
2) Х с распред. Бернулли с параметром р (0<p<1)
X: 0, 1 P(X=1)=p
P: 1-p, pP(X=0)=1-p
3) Случ вел Х с биномиальным распред. c параметром p и n (n-натуральное число, 0
X: 0,1,2…n и pk=P(X=k)=Cn^k*p^k*(1-p)^(n-k)
4) X с распред Пуассона с параметром 𝜆
X: 0,1,2,…и pk=P(X=k)= *
5) X с геомтрраспред с параметром р (0<p<1)
X: 0,1,2…и pk=P(X=k)=((1-p)^k)*p

17. Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением. Плотность распределения и ее свойства. Примеры непрерывных законов распределения.
Опр: Х-случ вел с абснепрерывраспред, если существует такая функция р(х),такая что для любого вещественного числа у
p(x):
Fx(y) =
p(x) = px(x)- плотность распределения случ вел Х.
Свойства плотности:
1) px(x) т.к. px(x)=F’x(x)
2)
Примеры:
1) Х с равномерным распред на [a;b], (a<b)
px(x)=
2) Случ вел Х с экспоненциальным распред с парам 𝞪>0
px(x)=
Fx(x)=
3) X с нормальным (гауссовским) распред с парам. a, (a
X
px(x)= *
3’) a=0,
X- со станд нормой распр
px(x)= * = 𝞿(х)
Fx(y)= dx=Ф(y)
4) Случ вел с распр Коши
px(x)=
Fx(x)= du
18. Случайные векторы. Совместная функция распределения.
(𝛺,F,P)
X:𝛺
Fx:R
X1,X2,…Xn- случ вел
=(X1,…Xn):𝛺 -случ вектор
(w)=(X1(w),X2(w),…,Xn(w))
F : – функция распр случ вектора
Fx(y1…yn)=P(x1<y1,…xn<yn)- совместная функция распред.
19. Свойства совместной функции распределения.
1) 0 (y1,…yn)
2) Если x1<y1 и x2<y2,…,xn<yn, то (x1,…xn) (y1,…,yn)
3) (x1…xk…xn) при xk
4) (x1…xk…xn) при xk F(x1,xk-1,xk+1,..,xn)(x1,xk-1,xk+1,..,xn)
5) (x1…xn) при x1
6) (n=2) a1<b1, a2<b2
P(a1 F(x1,x2)(b1b2)-F(x1,x2)(a1b2)-F(x1,x2)(b1a2)+F(x1,x2)(a1a2)