Несмещенные, состоятельные, асимптотически нормальные оценки

31Несмещенные, состоятельные, асимптотически нормальные оценки.

1.  - несмещенная оценка, если E = Ɵ. Асимпт несмещ, если E → Ɵ, где n→0. 

2.  – состоятельная оценка, если ∀ >0 P(| - Ɵ|≥ )→0 n→беск, P(| - Ɵ|< ε)→1 n→беск𝕝_{(-беск,t)}

3.  – асимтотич норм cдисп , если ∀t∈RP( <t)→ Ф(t)=1/  * du

32Свойства выборочной функции распределения

(t) – несмещ оценка для F(t)-генерфункраспр, то есть E (t)=F(t) Док-во: F_n(t)=1/n

1 _{(-беск,t)} (Xi)={1, Xi<t 0, Xi≥t}  

P(𝕝_{(-беск,t)} (Xi)=1)=P(Xi<t)=F(t) 1 _{(-беск,t)} (Xi): 0 – 1-F(t); 1 – F(t) E (Xi)=F(t)

E (t)=E 1/n =1/n =F(t) несмещ

Теорема Гливенко

(t) – состоят оценка для F(t)

(t) = 1/n (Xi) по теореме Хинчина о ЗБЧ P(|1/n (Xi) – F(t)|≥ →0 n→беск)  состоят.; 1/n (Xi) = (t)

 

33Свойства выборочного мат ожидания

1.  является несмещ и состоят оценкой для неизвестн мат ожидания a

2. Если сущ-етG^2=DX, то  – асимпт норм оценка для a

Доказательство: 

1. Несмещ: E =E1/n =1/n =а

Состоят: ∀ >0 P(|E1/n  – a|≥ ) n→беск →0 – из теории Хинчина о ЗБЧ

2. ассимп норм: ∀t RP( <t) → Ф(t) – по цпт Леви. = =

Свойства выборочной дисперсии

1. Статистика S^2 не завис от сдвига выборки

2.Статистика S^2 явл асимптот несмещ и состоят оценкой для G^2

 

Доказательство:

1.  доказать =

Док-во  = 1/n

2. X1-EXi=  , X2-EXi= … Xn-EXi=

Es^2 = E1/n - )^2 = 1/n - ) = 1/n (Xi-EXi) =

= E ()^2=G^2 -  – 1/n  = G^2 - 1/n * G^2 = *G^2 n→0 →G^2

Состоятельность:

∀ >0 P(|S^2-G^2| ≥  → 0 

P(|1/n - ^2-G^2| ≥ ), где G^2=E

По ЗБЧ Хинчина: 1/n ~EXi^2

По сво       йствам  : ~(EXi)^2

34Распределение Хи-квадрат и Стьюдента. Лемма Фишера.

1. распред хи-кв с n степенями свободы

Y1,Y2…Yn – независодинакраспрс.в. Yk∈N(0,1)

 ^2=  – распред по зак хи-кв с n степ свободы (числослагаем)

2. Распр Стьюдента с n степенями свободы

Y0,Y1…Yn – независ од распр с. в., Yk∈N(0,1)

T_{n= - с.в.} распред по зак Стьюдента с n степенями свободы

3. Лемма Фишера

1)  * ∈N(0,1) – статистика имеет станд норм закраспр

2) , s^2 – независс.в.

3) распр по зак ((n-1)-степ своб)

4) *  имеетраспр Стьюдента с (n-1) степ своб