Примеры вычисления EX (матем. ожид) для двухточечного, биномин. , пуассоновского, равномер и нормального распред

22. Примеры вычисления EX (матем.ожид) для двухточечного, биномин., пуассоновского, равномер и нормального распред.

1)(двухточ) X 0, 1

P 1-p, p

EX=0*(1-p)+1*p=p

2)(бином) X B(n,p) EX=np

X: 0,1,2,…n

P(X=k)= n^k p^k (1-p)^(n-k)

Или вот так: Yi0, 1

                     1-p, p

X= EX=E()=  = np

3)(Пуассон) X: 0, 1, 2, …

X П  Pk=P(X=K)= * e^ (-λ)

EX = = *e^(-λ) = e^(-λ) * = e^(-λ) *λ* = |k-1=L| = =e^(-λ)*λ* = λ

4)(абсол.непрер.)(равном) X Px(𝑥)=

EX = = dx =  =

5)(нормаль.закон) X

Px() = * e ^ (- )

EX =  * e ^ (-  ) dx = * e^(-  )* =                     *  dy + a *  * e ^ (-  ) dy = a

Левая часть последнего равенства = 0,тк нечетная функция. Правая часть =1, тк четная

 

23. Дисперсия и ее свойства.

Дисперсия случ.велX называют число DX = E(X-EX)^2

Свойства:

DX>0

DX=0 ó a: P (X=c)=1

 =>D((

D() = E ( = E( = E (X-EX)^2 =

DX=EX^2 – (EX)^2

DX=E(X-EX)^2 = E(X^2-2*X*EX+ (EX)^2))= EX^2-2*EX*EX+EX^2 = EX^2 – (EX)^2

X и Y-независ.сл.вел

D(X+Y)=DX+DY

D(X+Y) = E(X+Y-E(X+Y))^2 = E(X+Y-EX-EY)^2 = E((X-EX)^2+(Y-EY)^2 + 2(X-EX)(Y-EY)) = =E(X-EX)^2 +E(Y-EY)^2+ 2E(X-EX)(Y-EY) = DX+DY+2E(X-EX)(Y-EY) = DX+DY

 

24. Примеры вычисления дисперсий для различных распределений.

1) X: c= 1 => DX=0

2) X: 0, 1

   1-p, p =>DX=EX^2 – p^2 = p-p^2 =p(1-p)

X^2: 0, 1

  1-p, p =>EX^2=p

X

Y1,Y2,…Yn – независ.случ.вел

Yk: 0, 1

1-p, p

X= , DX=D() =  = np(1-p)

X X: 0,1,2,… pk=p(X=k)= * e^(-λ)

EX = = λ*e^(-λ) = λ

EX^2 =  = = =  + = λ^2*e^(-λ)  + λ*e^(-λ) = λ^2+λ

DX = λ^2+λ-λ^2 = λ

(непрер) X

Px(𝑥) =

EX=  . EX^2=  =  =

DX=  -  =

X  – нормал.закон

Px(𝑥) =  . EX=a

DX=  = = |y= | = *  =  =  )| (сверху , снизу - ) +  =

 

25. Моменты случайных величин

k>=0 –целое число

Моментом k-ого порядка случ.велX называют число EX^k, если это число существует

Централь.момент. k-ого порядка сл.вел. X называют E(X-EX)^k

Абсолют.моментE|X|^k

 

26. Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции

1. cov (X,Y) = E(X-EX)(Y-EY)

2. X, Y – случ.вел., сущ. DX>0, DY>0.

Свойства коэф.коррел.:

|  =  =<  =< = 1

X,Y- незав.случ.вел =>

Cov(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY) = E(X-EX)E(Y-EY)=0*0=0

Пусть

D (  = E  = E + E  = 1+1+- 2*  = 2+-2 ó сущ. C óY= *x + b

27. Неравенства Маркова и Чебышева.

1. Неравенство Маркова. X принимает неотрицательные знач. Тогда P(X>=t)=<

Док-во: для дискретн.распред.X

X: a1, a2,…

P1, p2,…

EX = =  + = t  = t*p(x>=t)

2. Нер-во Чебышева

X – случ.вел. a=EX,  тогда

P(|X-a|>= t) =<

Док-во: P(|X-a|>=t) = P ((x-a)^2 >= t^2) =<  =