Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямоугольной пластины жестко опертой по краям, опирающейся всей поверхностью на упругое основание

Рассмотрим изгиб длинной прямоугольной пластины, равномерно нагруженной, опирающейся всей своей поверхностью на упругое основание и жестко опертой по краям (рис. 1.1). Вырезав из пластины элементарную балку – полосу, ее можно рассматривать как балку на упругом основании. При этом полагают, что балка-полоса уложена на постель из материала, способного сопротивляться как силам, действующим вниз, так и силам, действующим вверх. Положив, что реакция основания в некоторой произвольной точке пластины пропорциональна ее прогибу w в этой точке (модель Винклера) и воспользовавшись уравнением

                                       ,

после двукратного его дифференцирования получим

                                               .                                            (1.1)

Здесь q – интенсивность действующей на пластину нагрузки, а k – реакция основания на единицу площади при прогибе, равном единице (коэффициент жесткости упругого основания - коэффициент постели).

Используя обозначение

 

                                                                                                  (1.2)

общее решение уравнения (1.1) можно представить в следующем виде:

                    ,                  (а)

где первые четыре члена представляют решение однородного дифференциального уравнения, а последний член – частное решение, зависящее от характера внешней нагрузки.

Из условий на концах балки-полосы надлежит определить четыре постоянных интегрирования. В рассматриваемом случае прогиб симметричен относительно середины полосы. Расположим поэтому оси координат в соответствии с рис. 1.1. При принятой системе координат члены выражения (а) с коэффициентами С₂ и С₃ меняют знак при замене x на – x и, следовательно, граничные условия выполняются, если С₂ =С₃ =0.

Тогда выражение (а) принимает вид:

 

                                          (б)

Постоянные С₁ и С₄  находим из условия, что на конце  как прогиб, так и изгибающий момент полосы равны нулю. Поэтому

                              .                            (в)

Подставив в выражение (в) значение w из выражения (б), получим

                                .                              (г)

Найдем вторую производную от прогиба..

               

            

или

                 .               (д)

Подставим значение второй производной во второе граничное условие.

                                   .                                 (е)

Рассмотрим совместно граничные условия (г) и (е).

                 

                    

                

 

                          

Упростим выражение

    .

Окончательно получим выражения для С₁ и С₄ в виде:

                                        (ж)

Подставив значения произвольных интегрирования в выражение (б), получим:

С учетом (1.2) выражение для прогиба имеет вид:

 

(1.3)

Определим прогиб в середине полосы .

                                    (1.4)

где

                                          .                                      (1.5)

Для получения углов поворота пластины, дифференцируем выражение (1.3).

   (з)

Определим угол поворота края пластины .

 

 

 

 

 

 

,

                                          ,                                       (1.6)

где

                                      .                                   (1.7)

Изгибающий момент в произвольном сечении балки-полосы получим из уравнения

                                                .

 

 

       

 

   . (1.8)

Для середины балки-полосы

 

            .       (1.9)

где

                                                  .                                   (1.10)

Перечную силу в произвольном сечении балки-полосы получим из уравнения

     ,

или, с учетом (1.5) и (1.10):

                        .                   (1.11)

Для левого края балки-полосы :

 

                        .                    (1.12)

 

Подставив (1.5) и (1.10) в (1.3) формулу для прогиба приведем к виду:

 

                    (1.13)