Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины, вдавливаемой в упругое основание равномерно распределенными по ее краям нагрузками

Условия, аналогичные показанным на рис. 1.1, получаются, если длинная прямоугольная пластина (рис. 2.1) вдавливается в упругое основание, равномерно распределенными по ее краям нагрузками величиной F на единицу длины. Пластина вдавливается в упругое основание и изгибается, как показано пунктиром (рис.2.1). Если прогиб на краях пластины обозначить , то реакция основания в произвольной точке будет равна:

                                             ,                                         (2.1)

где w выражается уравнением (1.3) при замене q на , т. е.

 

                                      (2.2)

Величина  находится из условия, что нагрузка уравновешивается реакцией основания. Отсюда

            (а)

Выразим гиперболические функции через показательные функции.

                   ;                 (б)

                                    (в)

Из таблицы интегралов (Д.Б. Двайт) найдем значения интегралов.

Рассмотрим выражение (б).

Предварительно выполним замену переменных.

                              

                                   

Тогда

       

 

       

Подставив значения интегралов в выражение (б), получим:

           .         (г)

Рассмотрим выражение (в)

        

 

     

Подставив значения интегралов в выражение (в), получим:

         .       (д)

Выражения (г) и (д) подставим в уравнение (а).

или

                                                .                                              (е)

где

.

Выразив показательные функции через гиперболические функции, получим:

    

Из (1.5) и (1.10) имеем:

, .

Тогда

               .

Из (1.2) найдем:                        (ж)

Подставив в полученное выражение для , получим:

        

(2.3)

Подставив значение  в выражение (е) и учитывая (ж), получим:

                      

Отсюда

                                                ,                                            (2.4)

Выражение для прогиба (2.2), с учетом (ж), (1.5), (1.10) и (2.4), принимает вид:

              

          (2.5)

Прогиб в центре пластины :

                                  ,                             (2.6)

Для получения углов поворота продифференцируем выражение (2.5) по x.

 

    

                                 (2.7)

Определим угол поворота левого края балки-полосы .

    (2.8)

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки-полосы получаем из уравнения

                                                .

Продифференцируем выражение (2.7)

.

 

            .

Подставив в выражение для изгибающего момента, получим:

                .            (2.9)

Значение изгибающего момента в центре балки-полосы

                                  .                              (2.10)

Поперечную силу в произвольном сечении балки-полосы получим из уравнения                                                    .

Из уравнения (2.9) получим:

      

 

                                         (2.11)

Значение поперечной силы на левом конце балки-полосы

                    

 

                          .                     (2.12)