2021-10-20
51
4. Пример выполнения задания.
Исходные данные:
1. Определение цилиндрической жесткости D и коэффициента 
.
Согласно (1.2):
.
2. Определение функций 
. Из табл. 2 находим:
;
.
.
3. Выражения для прогибов w, углов поворота 
, изгибающих моментов 
и поперечных сил 
:
Согласно (1.13)
)
Подставив значения исходных данных, получим:,
. (4.1)
Из (з) §1:
С учетом (1.5) и (1.10), получим:
(4.2)
Из (1.8):
С учетом (1.5) и (1.10), получим:
.
.
. (4.3)
Из (1.11):
. (4.4)
4. Построение эпюр w, , и .
4.1 Определение значений тригонометрических и гиперболических функций в характерных сечениях балки-полосы. Результаты сведены в таблицу
| Функции | x | ||||||||||
| - a/2 | - 3a/8 | - a/4 | - a/8 | a/8 | a/4 | 3a/8 | a/2 | ||||
|
| |||||||||||
| 
| 
| 
| 
|
|
|
| ||||
| -0,8071 | -0,3067 | 0,3106 | 0,8095 | 0,8095 | 0,3106 | -0,3067 | -0,8071 | |||
| -0,5904 | -0,9518 | -0,9506 | -0,5871 | 0,5871 | 0,9506 | 0,9518 | 0,5904 | |||
| 6,1931 | 3,3611 | 1,8965 | 1,2034 | 1,2034 | 1,8965 | 3,3611 | 6,1931 | |||
| -6,1118 | -3,2089 | -1,6114 | -0,6695 | 0,6695 | 1,6114 | 3,2089 | 6,1118 | |||
4.2 Определение значений прогибов w, углов поворота , изгибающих моментов и поперечных сил в характерных сечениях балки-полосы.
Прогиб в центре балки-полосы (1.4):
Прогиб в произвольном сечении (4.1):
.
.
Угол поворота левого края балки-полосы (1.6):
.
Угол поворота произвольного сечения балки-полосы (4.2)
:
Результаты сведены в таблицу
| Перемещения | x | ||||||||
| - a/2 | - 3a/8 | - a/4 | - a/8 | a/8 | a/4 | 3a/8 | a/2 | ||
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
| 
| 
|
| ||
w 
| 0,00 | 0,29 | 0,47 | 0,54 | 0,57 | 0,54 | 0,47 | 0,29 | 0,00 |
 рад.
| 6,4 | 4,8 | 2,4 | 1,6 | 0,00 | -1,6 | -2,4 | -4,8 | -6,4 |
Изгибающий момент в середине балки-полосы (1.9)
Изгибающий момент в произвольном сечении балки-полосы (4.3)
:
.
Поперечная сила в произвольном сечении балки-полосы (4.4)
:
Результаты сведены в таблицу
| Перемещения | x | ||||||||
| - a/2 | - 3a/8 | - a/4 | - a/8 | a/8 | a/4 | 3a/8 | a/2 | ||
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
Qzx 102 
| 19,5 | 2,1 | -3,6 | -2,9 | 2,9 | 3,6 | -2,1 | -19,5 | |
Mx 
| 0,0 | 4,8 | 4,1 | 1,7 | 1,5 | 1,7 | 4,1 | 4,8 | 0,0 |
4.3 Определение сечения с экстремальным (наибольшим) значением изгибающего момента на левой половине балки-полосы.
.
Сечение с максимальным изгибающим моментом (x=x0) находится в интервале
Подставив 
и 
в выражение для поперечной силы, получим после элементарных преобразований:
.
Подстановкой определяем, что
Наибольший изгибающий момент:
5. Определение максимальных нормальных и касательных напряжений.
При использовании энергетической теории прочности, условие прочности по методу предельных состояний записывается в виде:
.
Для цилиндрического изгиба:
.
Расчетный момент:
Для рассматриваемой пластины принимаем:
.
Тогда
Условие прочности выполняется.
Максимальное касательное напряжение
.
Для проверки результатов рассмотренного примера, решим его одним из численных методов, например, методом конечных разностей (МКР).
Исходное дифференциальное уравнение (1.1):
(а)
Используя симметрию условий закрепления и нагрузки, рассмотрим только левую половину выделенной балки-полосы. Шаг (интервал) примем 
.
Четвертая производная в форме МКР для произвольной точки:
.
Подставив в уравнение (а), получим для произвольной точки k:
(б)
Обозначим
. (в)
Подставив (в) в (б), получим окончательное выражение разрешающего уравнения в форме МКР для рассматриваемого примера
(г)
Составив уравнение (г) для каждого внутреннего узла левой половины балки-полосы, получим систему линейных алгебраических уравнений,
В матричной форме эти уравнения имеют вид:
А= 
, W= 
; B= 
, (д)
где
А – матрица коэффициентов системы уравнений (г);
W – матрица прогибов;
B – матрица свободных членов системы уравнений (г).
Решив систему уравнений
. (е)
найдем значения прогибов в узлах балки-полосы.
Исходные данные:
Значение цилиндрической жесткости D и величин 
и 
:
Составляем конечно-разностные уравнения (г) для каждого внутреннего узла, с учетом граничных условий (шарнирное закрепление концов пластины):
Обозначим
Составляем систему разрешающих уравнений (6)
,
где:
. 
(ж)
Решив систему уравнений 
, находим прогибы в характерных сечениях балки-полосы (мм).
(з)
Выражение изгибающего момента для цилиндрического изгиба:
. (и)
Вторая производная в форме МКР для произвольной точки:
. (к)
Значение изгибающего момента в сравниваемых сечениях балки-полосы:
Рассмотрим аналитическое решение в сечениях 
.
Прогиб (4.1) в произвольном сечении балки-полосы:
.
Изгибающий момент (4.3) в произвольном сечении балки-полосы:
.
Сравним по прогибам и изгибающим моментам результаты численного и аналитического решений:
| Результаты | W мм. | Mx кНсм/см. | |||||||||
| x | |||||||||||
| a/2 | 0,4a | 0.35a | 0,25 a | 0.0 | 0.0 | 0,25a | 0,35a | 0,4a | a/2 | ||
| Аналитически | 0,00 | 0,238 | 0,333 | 0,466 | 0,566 | 1,500 | 4,070 | 4,916 | 4,441 | 0,00 | |
| Численно | 0,00 | 0,237 | 0,332 | 0,465 | 0,564 | 1,515 | 4,040 | 4,798 | 4,292 | 0,00 | |
| Расхождение |
|
| |||||||||
(%)
(%)
