2021-11-13
47
y ()=, g(x(t),y(t)=0,t є[ ] } (13)
Басқаша айтқанда J(x,y) функционалын берілген g(x,y,t)=0, t є [ 
] бетіндегі x(t),y(t) є 
[ ] үзіліссіз дифференциалданатын функциялар жиынанда минимумдау керек.
3-теорема. Егер ( 
є U функциясы (12) функционалын (13- шарттарда әлсіз локәлдік минимумге жеткізсе және 
) мен є [ ] туындылары бір мезгілде нөлге айналмаса, онда λ(t) є C [ ] функциясы
( 
) + λ(t) 
- 
( )=0, (14)
( ) + λ(t) - ( )=0, (15)
Дифференциалдық тендеулерінің шешімі болатын λ(t) є C [ ] функциясы табылады.
Дәелі.Мәселен (x(t),y(t)) =((t,), + (t,)) є U, делік (мұндағы (t,) =0, егер t ¢[τ- ], (t,)≡0, τ- ]).
Сондағы (12) – функционал мүшесі.
∆J = J(x,y) – K 
= 0 
( )- 
( ) ] 
4. Шартты экстремум есебінің қажетті және жеткілікті шарты
J(x,y) (12).
(x(t),y(t) є U={x(t),y(t) є [ ]/x( 
) = 
y( ) 
) = 
,
y ()=, g(x(t),y(t)=0,t є[ ] } (13)
Басқаша айтқанда J(x,y) функционалын берілген g(x,y,t)=0, t є [ ] бетіндегі x(t),y(t) є [ ] үзіліссіз дифференциалданатын функциялар жиынанда минимумдау керек.
3-теорема. Егер ( є U функциясы (12) функционалын (13- шарттарда әлсіз локәлдік минимумге жеткізсе және ) мен є [ ] туындылары бір мезгілде нөлге айналмаса, онда λ(t) є C [ ] функциясы
( ) + λ(t) - ( )=0, (14)
( ) + λ(t) - ( )=0, (15)
Дифференциалдық тендеулерінің шешімі болатын λ(t) є C [ ] функциясы табылады.
Дәелі.Мәселен (x(t),y(t)) =((t,), + (t,)) є U, делік (мұндағы (t,) =0, егер t ¢[τ- ], (t,)≡0, τ- ]).
Сондағы (12) – функционал мүшесі.
∆J = J(x,y) – K = 0 ( )- ( ) ]
| 5.Вейерштрасс теоремасы |
Теорема (Вейерштрасс теоремасы).[a,b], кесіндісінде үздіксіз кез келген f(x) функциясы осы кесіндіде ең кіші және ең үлкен мәнді қабылдайды, яғни [a,b] кесіндісінде кез келген  , үшін  теңсіздігі орындалатындай  және  нүктелері бар болады. Бұл теорема шешімнің жалғыздығын дәлелдемейді.
Берілген кесіндіде экстремумдық мәнге тең бірнеше нүктелер болуы мүмкін. Дербес жағдайда, мұндайға периодтық функцияларды жатқызуға болады.
Тиімділеу әдістерін мақсатты функциялардың әртүрлі класстары үшін қарастырамыз.
Қарапайым ретінде [a,b], кесіндісінде дифференциалданатын f(x) функциясы болып табылады. y=f(x) функциясы аналитикалық тәуелділік түрінде берілген және оның туындысы үшін айқын өрнек табылады.
Мұндай функциялардың экстремумдарын жоғары математика курсындағы дифференциалдық есептеулер әдісімен табуға болады.
F(x) функциясының ең кіші және ең үлкен мәндері [a,b], кесіндісінің шеткі нүктелерінде немесе минимум және максимум нүктелерінде болуы мүмкін. Соңғы нүктелер кризистік болуы міндетті, яғни  туындысы осы нүктелерде нөлге айналуы керек – бұл экстремумның қажетті шарты.
Бұдан f(x) функциясының [a,b], кесіндесіндегі ең кіші және ең үлкен мәндерін анықтау үшін, оның берілген кесіндідегі барлық кризистік нүктелеріндегі және шеткі нүктелеріндегі мәндерін есептеп, алынған мәндерді салыстыру керек. Олардың ішіндегі ең кіші және ең үлкендері ізделінді мәндер болады.
Мысал.  -  функциясының [1,3] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндерін табыңдар.
Шешуі.  туындысын есептеймыз:
Оны нөлге теңестіріп, кризистік нүктелерін табамыз:
 =0, =1,  =2
 нүктесі қарастырылған кесіндіге тиісті емес, сондықтан талдауға үш нүктені қалдырамыз:
a=1,  ,b=3
Функцияның осы нүктелердегі мәндерін есептейміз:
Алынған шамаларды салыстыра отырып, f(x) функциясының ең кіші мәні x=2 нүктесінде, ал ең үлкен мәні x=3 нүктесінде болатынын анықтаймыз, яғни:
f’(x)күрделі функцияның туындылары үшін сызықтық емес теңдеулерді шешудің сандық әдістерін пайдалану қажет.
Мақсатты функцияның туындысын есептеуге негізделген әдіс оны аналитикалық түрде болуын қалайды. Басқадай жағдайларда кестелік түрде берілген мақсатты функция аргументтің кейбір дискретті мәндерінде есептелуі мүмкін, мұндайда іздеудің әртүрлі әдістері пайдаланылады. Олар мақсатты функцияны жекелей нүктелерде есептеуге және олардың ішінен ең үлкен және ең кіші мәндерді таңдауға негізделген.
|
