Шартты экстремум есебінің қойылымы

7. Шартты экстремум есебінің қойылымы

Бірайнымалды y=f(x) функциясының нөлге тең болуы немесе туындының болмауы қажетті шарт.

Лагранж есебін қарастырайық: J(x,y) =

y(

Басқаша айтқанда J(x,y) функционалын берілген   g(x, y, t)=0,  бетіндегі  x(t), y(t)   үзіліссіз дифференциалданатын функциялар жанында минимумдау керек.

Егер (

 мен  ∈ [ ]

туындылары бір мезілде нөлге айналмаса, онда  функциясы

(t) ,

(t) .

Дифференциалдық теңдеулерінің шешімі болатын  функциясы табылады.

 

8. Дөңес функция түсінігі анықтамалар, функцияның дөңестігі

Дөңес программалау есебі жалпы жағдайда былай жазылады:

J(u)⇾inf, u ϵ U, U С

Мұндағы U- - дегі дөңес жиын, ал J(u) – дөңес u жиынында анықталған дөңес функция.

1-анықтама: J(u)⇾  – дегі дөңес U жиынында анықталған функция болып, кез келген u, v ϵ U нүктелері үшін барлық

 [0,1] кезінде

J(  u+(1- )v)≤  J(u)+(1- )J(v)

Теңсіздігі орындалса, онда J(u) функциясы U жиынындағы дөңес функция деп аталады.

Егер (1) өрнектегі теңдік тек  және  кезінде ғана мүмкін болса, онда J(u) функциясы дөңес U жиынындағы қатаң дөңес функция болғаны. Егер дөңес U жиынында J(u) функциясы дөңес (қатаң дөңес) болса, онда J(u) функциясы ойыс (қатаң ойыс) болғаны.

2-анықтама: J(u) дөңес U жиынында анықталған функция болсын. Егер кез келген u, v ϵ U нүктелері үшін барлық

 [0,1] кезінде

J(  u+(1- )v)≤  J(u)+(1- )J(v)-       (2)

Теңсіздігі орындалатын λ>0 саны табылса, онда J функциясы U жиынында дөңес функция болады.

Мысал:

J(u)=[c,u] функциясы - дегі U жиынында анықталған болса, онда J(u)=[ c,u] U- дағы дөңес функция. Шынында да u, v ϵ U еркін нүктелер, ал  [0,1] ендеше  нүктесіU жиынында жатады: U, себебі U дөңес жиын. Онда:

J(u)=[c, ]=a[c, u]+(1-a)(c,v)=aJ (u)+(1-a)J(v)

Бұл жағдайда (1) өрнек теңдік таңбасына ие < * >- скалярлық көбейтінді белгісі.

3-анықтама: Егер

[J’(u)-J’(v)]≤L[u-v],  u,v ϵ U,L = const > 0

Болса, онда J(u) ϵ C’ (u) функцияларының градиенті J’(u) U жиынында Липщиц шартын қанағаттандырады дейміз. Мұндай функциялар кеңістігінің белгіленуі:

Біртіндеп жуықтау әдістерінің жинақтылығын зерттеуде келесі лемманың пайдасы тиеді:

Лемма. Егер J(u) ϵ C’ және U дөңес жиын болса, онда

[J(u)-J(v)-(J’(v),u-v)]≤L 2,  теңсіздігі ақиқат.

Дәлелі.

J(u)-J(v)-(J’(v),u-v)=  теңсіздігінен шығатыны:

J(u)-J(v)-(J’(v),u-v)≤

Лемма дәлелденді.