Сызықты емес программалау есебі. Лагранж функциясы

15. Сызықты емес программалау есебі. Лагранж функциясы

Есептің қойылымы:

 J(u)→inf                                                                      (1)

u U={ u Eⁿ / u g_i(u)≤0, i=1,m; g_i(u)=0, i=m+1,s }, (2)

 мұндағы J(u), g_i(u), i=1,s Eⁿ – дегі дөңес U₀ жиынында анықталған берілген функциялар. Белгілеу енгізейік

U_i = { u Eⁿ / (u)≤0}, i=1,m

U_m+1 = {u Eⁿ / (u)≤0}, i=m+1,s                                           (3)

Енді U жиынын мына түрде жаза аламыз:

U= U₀ ∩ U₁,…, U_m∩ U_m+1                         (4)

Сонда (1)-(2) есеп төмендегіше жазылады: J(u)→inf, u U. Мәселен

J_* = infJ(u)>-∞, U_* = { u_*  Eⁿ/ u_*  U, J(u_*) = min J(u), u  U } ≠  делік. Егер U_* ≠ , онда J(u_* ) = min J(u) екенін байқаймыз. Енді u_*  U_* нүктесін және J_* = J(u_*) шамасын табу керек.

Лагранждың жалпыланған функциясы (1)-(2) есебі үшін

L(u, ) = ₀J(u) + _ig_i(u), u  U₀;  = ( ₀, ₁,…, _s) ˄₀ = {  E^s+1/ ₀≥0} (5) түрінде өрнектеледі.

Теорема.

Егер J(u)  C¹(U₀₁), g_i(u)  C¹(U₀₁), int U₀₁≠0, U₀ – дөңес жиын, ал U_*≠  онда әрбір u_**  U нүктесі үшін

| ^* | ≠0, ₀^* ≥ 0, ₁^*≥0,…, _m^*≥0,〈 L_u(u_*, ^*), u-u_*〉=〈 ₀^*J’(u_*) + _i^*g_i^f(u_*), (6)

u-u_*〉 ≥0, u U₀          (7)

₀^*g_i(u_*) = 0, i=1,s                                 (8)

шарттары орындалатын Лагранж көбейткіштері ^* = ( ^*₀, ^*_{1, ….}, ^*_s) ˄₀ табылуы қажетті.

Теорема шарттары:

2) Дөңес программалауесептеріндегі теоремалардан айырмашылық:

(u_*, ^*) U₀ ˟ ˄₀ жұбы Лагранж функциясының қайқы нүктесі деп кесіп айтылмайды, яғни негізгі теорема шарты орындалып тұрған жоқ

4) Жалпы жағдайда (u_*, ) жұбы қайқы нүкте болмағандықтан (6)-(8) шарттарынан u_*^* U_* нүктесі (1)-(2) есебінің шешімі деген тұжырым шықпайды.

5) Егер ₀^* > 0, онда (1)-(2) есебі ерекшеленбеген деп аталады, бұл жағдайда ₀^* =1 деп қабылдауға болады, себебі Лагранж функциясы: -ға қатысты сызықты функция. 

16. Бір айнымалы функцияны минимумдаудың сандық әдістері,анықтамасы, унимодальды функция, Парабола әдісі, Іріктеу әдісі, кесіндіні қақ бөлу, Алтын қима 

Бір айнымалы функцияны минимумдау есептері мақсат функциясы бір ғана айнымалыдан тәуелді болатын тиімділеудің қарапайым математикалық моделін құрайды

f (x) → min ,   x [ a; b ].

Мақсат функциясын максимумдау есебі f (x) → max  (– f (x) → min) сондықтан тек минимум есебі қарастырылады.

 [ a; b ] кесіндісінде f (x) функциясын минимумдау есебін шығару үшін практикада жуықтау әдістері қолданылады. Олар бұл есептің шешімін f (x) функциясының ақырлы мәнін және [ a; b ] кесіндісінің кейбір нүктелерінде олардың туындысының мәнін анықтау нәтижесінде қажетті дәлдікпен табуға мүмкіндік береді. Функцияның мәндерін ғана қолданып, осы функцияның туындысын есептеуді қажет етпейтін әдістерді минимумдаудың тура әдістері деп атайды.