Контрольные вопросы. Эффекты конечной разрядности. В цифровых фильтрах. Шум квантования

Контрольные вопросы

1. При каких условиях в КИХ-фильтрах возможно получение линейной фазочастотной характеристики?

2. Покажите примеры графиков симметричных дискретных импульсных характеристик (ДИХ) с четным и нечетным числом отсчетов. Как влияет четность или нечетность числа отсчетов на вид АЧХ КИХ-фильтра?

3. Приведите примеры антисимметричных ДИХ с четным и нечетным числом отсчетов и соответствующие им АЧХ.

4. Отметьте различие ФЧХ КИХ-фильтров с симметричными и антисимметричными импульсными характеристиками.

5. Какие искажения АЧХ возникают при расчете КИХ-фильтров с симметричными или антисимметричными ДИХ?

6. Что такое оконная функция? С какой целью используется эта функция?

7. Назовите ряд оконных функций. Укажите их отличия.

8. Как зависит ширина переходных зон АЧХ КИХ-фильтров от частоты дискретизации?

9. Как рассчитать КИХ фильтр методом частотной выборки? В чем достоинства и недостатки этого метода?

10. Как реализовать цифровой фильтр, синтезированный методом частотной выборки, в виде одноканальной структуры?

11. Что такое согласованный фильтр? Как он реализуется в цифровой области?

12. Что такое цифровой синхронный накопитель (ЦСН)? Объясните, почему ЦСН имеет и другие названия: "скользящий интегратор" и "гребенчатый фильтр"?

 

 

 

8. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ

В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ

8.1. Шум квантования

Проведенное в предыдущих главах рассмотрение цифровых фильтров исходило из предположения, что и цифровые отсчеты и коэффициенты фильтров представляются с неограниченной точностью. В реальных фильтрах точность вычислений ограничена и зависит от числа разрядов используемых устройств: аналого-цифрового преобразователя, регистров коэффициентов, сумматоров, умножителей. Это обстоятельство приводит к появлению таких эффектов, как шум квантования, шум округления коэффициентов и результатов вычислений, а также некоторых других нежелательных эффектов.

Начнем рассмотрение этих эффектов с шума квантования. Как было показано в первой главе, в процессе преобразования значений дискретных отсчетов u _Д в цифровые x возникает ошибка квантования  x = x – u _Д, значение которой является случайной величиной. Последовательность значений x(n) называется шумом квантования. Его соседние по времени отсчеты считаются некоррелированными между со­бой. Плотность вероятности w (x)равномерна между значениями -D/2 … +D/2 и в этих пределах равна

              -D/2 < x < + D/2,                                  (8.1)

где D - интервал квантования по уровню. График плотности вероятности w (x) приведен на рис. 8.1.

 

Рис. 8.1. Плотность вероятности отсчетов шума квантования.

 

Располагая выражением для w (x), легко определить дис­персию шума квантования:

                                                         (8.2)

Следует заметить, что при некоторых входных воздействиях, например, в виде меандра, x(n) является последовательностью постоянных значений, а, следовательно, при таких воздействиях шум квантования отсутствует.

Составим выражение, связывающее дисперсию шума квантования с числом разрядов цифрового устройства b. Если максимальное значение сигнала равно U _max,то интервал кванто­вания равен:

                                                                    

Тогда (8.2) принимает вид:

                                                                                 (8.3)

Определим эффективное значение шума квантования U _ш.эфф=s_x  для случая, когда U _max = 1В. Если b = 8, то U _ш.эфф» 10^-3В. При повышении разрядности до значения b = 16 U _ш.эфф» 4×10^-6В.Таким образом, разрядность цифрового устройства через величину кванта D влияет на уровень дисперсии шума квантования, а значит, и на отношение сигнал/шум, которое обозначим через A. В качестве примера решим задачу по определению необходимой разрядности цифрового устройства, если отношение сигнал/шум A задано.

Будем считать, что цифровой обработке подвергается звуковой сигнал в тракте высококачественного вещательного радиоприемника. Установлено, что моделью речевых и музыкальных сигналов может служить нормальный центрированный шум. Запишем выражение для плотности вероятности нормированных значений x _Сзвукового сигнала:

                          

где   x _С = u _С/s_C, u _С - мгновенное, а s_C - среднеквадратичное значение звукового сигнала; размерность u _С и s_C - вольты.

Аналоговый звуковой сигнал преобразуется с помощью АЦП в цифровой сигнал. Шкала входных аналоговых напряжений АЦП ограничена сверху пороговым напряжением U _ПОР, которое также пронормируем к s_C: x _ПОР = U _ПОР/s_C.

Поскольку звуковой сигнал является случайным процессом, то с некоторой вероятностью отдельные выбросы сигнала могут превышать пороговое напряжение, что приведет к грубым ошибкам при преобразовании аналог-цифра. Для того, чтобы практически исключить такие ошибки, установим U _ПОР равным 4s_C, тогда x _ПОР = 4 и вероятность ошибки   p _ОШ < 10^-4. На рис. 8.2 изображена плотность вероятности w (x _С), а также отмечен пороговый уровень x _ПОР.

Рис. 8.2. Плотность вероятности значений звукового сигнала.

 

При принятой нами нормировке на s_C для нормированного значения интервала квантования получим выражение:

                

В рассматриваемом примере максимальное значение сигнала равно пороговому значению, т.е. x _max = x _ПОР = 4, следовательно, для D можно записать следующее выражение:

                                                   (8.4)               

 Подставив (8.4) в (8.2), для дисперсии шума квантования получим выражение:

                                                      (8.5)

Используя (8.5), составим выражение для отношения сиг­нал/шум:

      A, дБ = 10 lg(P _С/ P _Ш) =10 lg(s_C²/s_x²) = 10 lg(2^{2 b} /1,33),        (8.6)

где P _С и P _Ш - соответственно, мощность сигнала и мощность шума.

С использованием (8.6) найдем связь b с требуемым отношением сигнал/шум A:

                     b = (A + 10lg1,33)/20lg2» A /6.                                    (8.7)

Для высококачественного воспроизведения музыкальных сигналов отношение сигнал/шум должно быть порядка 90 дБ. Для реализации такого отношения необходимо обеспечить значение   b³ 15. Примем стандартное значение b =16. Таким образом, высококачественное воспроизведение музыкальных сигналов требует высокой разрядности цифровых устройств.

Рассмотрим особенности определения спектральной плотности шума квантования. Поскольку соседние отсчеты шума квантования считаются некоррелированными, то это позволяет назвать шум квантования цифровым "белым" шумом, спектр которого является равномерным. В аналоговой области "белый" шум характеризуется бесконечно протяженным спектром с конечной спектральной плотностью и, следовательно, с бесконечно большой мощностью. В цифровой области "белый" шум имеет конечную мощность, характеризуемую его дисперсией s_x². Спектральная плотность G цифрового "белого" шума при этом выражается в виде:

                                       .                                      

Объясним полученное выражение. Все процессы в цифровой области не могут превышать по частоте интервал Найквиста, протяженность которого в цифровых частотах равна p.  Следовательно, спектр цифрового "белого" шума сосредоточен в этом же диапазоне, и его спектральная плотность определяется приведенным выражением.