Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания

Дискретная импульсная характеристика КИХ-фильтра всегда ограничена конечным числом отсчетов N. Поскольку число отсчетов ДИХ определяет число членов ряда Фурье, которым представляется заданная АЧХ, ограничение ДИХ по количеству отсчетов означает отбрасывание высших гармонических составляющих в этом ряде, что неизбежно приводит к искажению формы реализуемой АЧХ.  

 

Рис. 7.13. АЧХ КИХ-фильтра нижних частот.

 

На рис. 7.13 показан график реальной АЧХ Ĥ (F) КИХ-фильтра нижних частот (Ф_С = p/2, N = 30). Там же пунктиром показана за­данная форма АЧХ H (Ф), которая имеет вид идеального прямоуголь­ника (ДИХ такого фильтра представлена на рис. 7.10). Расчет Ĥ (F) проводился по формуле (7.15), в которую введено выражение (7.41) для ДИХ:

       (7.43)

В форме реальной АЧХ Ĥ (F) можно отметить две особен­ности:

1. Возникновение конечной (ненулевой) протяженности переходной зоны, которая "размывает" границу заданной идеально прямоугольной АЧХ   H (F).

2. Наличие пульсаций, которые приводят к неравномерно­сти АЧХ в полосе пропускания и возникновению конечного (ненулевого) значения АЧХ в области затухания.

Очевидно, что отмеченные искажения формы АЧХ, являю­щиеся следствием ограничения ДИХ, устранить полностью принципиально невозможно. Речь может идти только об уменьшении этих искажений.

Задача восстановления исходной формы периодической функции с помощью ограниченного ряда Фурье рассматрива­лась (как чисто математическая задача) еще в прошлом сто­летии. Первые же исследования в этой области показали, что простое увеличение числа членов усеченного ряда Фурье приводит лишь к сокращению переходных зон и практически не влияет на уровень пульсаций в форме восстановленной функции. При этом частота пульсаций оказывается соответ­ствующей последнему удержанному или первому отброшен­ному члену ряда Фурье.

Перспективным направлением в попытках уменьшения уровня пульсаций оказалась разработка методов, основанных на том, что усечение членов ряда Фурье дополнялось умноже­нием коэффициентов ряда на так называемые весовые функции. При этом вид весовых функций подбирался так, чтобы в области последних удержанных членов ряда Фурье их коэффициенты более или менее плавно стремились к нуле­вому уровню.

Коэффициенты ряда Фурье, формирующего АЧХ КИХ-фильтра, однозначно связаны с его ДИХ. Поэтому для уменьшения уровня пульсаций в АЧХ необходимо рассчиты­ваемую по (7.39) или (7.40) ДИХ заменить взвешенной ДИХ в соответствии с формулой:

                                                                           (7.44)

где w (n) – некоторая весовая функция.

Часто процедура получения  в соответствии с (7.44) рассматривается как "пропускание исходной ДИХ h (n)через окно w (n)".Функция w (n) называется "оконной" функцией, функцией "окна" или просто "окном".

При выборе конкретного вида оконной функции w (n) необходимо учитывать два противоречивых обстоятельства:

– с одной стороны, "сглаживание" отсчетов ДИХ h (n)в области усечения с помощью окна w (n)обеспечивает уменьшение уровня пульсаций в форме АЧХ;

– с другой стороны, такое "сглаживание" уменьшает интенсивность высших гармонических составляющих, что при­водит к расширению переходных зон.

Расчет АЧХ КИХ-фильтров со взвешенной ДИХ прово­дится по формулам (7.15), (7.20), (7.26) или (7.28), в которых h (n) заменяется на  Однако для качествен­ной оценки влияния процедуры взвешивания ДИХ на уменьше­ние уровня пульсаций и расширение переходных зон в форме АЧХ представим такой расчет в другом аспекте.

Воспользуемся известной теоремой из теории линейных цепей о "спектре произведения", которая формулируется так: если даны две функции x (t)и у (t)и для них известны их частотные спектры S_x (j w) и S_y (j w), то спектр произведения функций z (t) =   определяется сверткой спектров этих функций:

                         

В цифровой области применительно к КИХ-фильтрам эту теорему можно изложить так: частотная характеристика  рассчитываемого КИХ-фильтра, ДИХ которого  образована пропусканием исходной ДИХ h (n)через окно w (n), равна свертке заданной частотной характеристики H (j Ф) с частотной характеристикой окна W (j Ф):

                            .                              (7.45)

Перепишем (7.45) в развернутом виде

                                                (7.46)

Для определенности будем считать, что h (n) является симметричной последовательностью, тогда

                                                                    (7.47)

Очевидно, что оконная функция w (n)также должна быть симметричной и содержать такое же число отсчетов N,как и ДИХ h (n)КИХ-фильтра, следовательно:

                                                                        (7.48)

Подставив (7.47) и (7.48) в (7.46), получим

                                      (7.49)

После преобразований (7.49) выражение для Ĥ (F) принимает вид:

                

откуда следует, что АЧХ  рассчитываемого КИХ-фильтра определяется сверткой заданной АЧХ H (Ф) с АЧХ окна W (F):

                                                              (7.50)

Если ДИХ h (n) не подвергается операции взвешивания, то это равноценно пропусканию ДИХ через прямоугольное окно

                               w (n) = 1, 0   n  N – 1.

Вначале рассмотрим свойства такого прямоугольного окна. Его частотная характеристика находится, как z -преобразование последовательности w (n)при   z = exp(j F):

(7.51)

Из (7.51) следует, что АЧХ прямоугольного окна определяет­ся функцией

                                

график которой представлен на рис. 7.14.

 

Рис. 7.14. АЧХ прямоугольного окна.

 

Пусть заданная АЧХ H (Ф) КИХ-фильтра представлена идеальным прямоугольником. Проведем качественную оценку формы АЧХ  рассчитываемого КИХ-фильтра при исполь­зовании прямоугольного окна. Дадим операции свертки (7.50), определяющей , геометрическую интерпретацию. На рис. 7.15,а изображены график функции H (q), повторяющей H (F), и график функции W (F - q). В соответствии с (7.50), результат свертки для выбранного значения Ф₁ можно рассматривать как вычисление площади заштрихованной области на рис. 7.15,а (с учетом знаков выбросов). Эта площадь численно определяет значение АЧХ  (рис. 7.15б) при F = F₁.

Рис. 7.15. Геометрическая интерпретация операции свертки: а) графики заданной прямоугольной АЧХ и АЧХ "окна"; б)результат свертки двух АЧХ.

 

Очевидно, что при изменении частоты Ф (например, в сто­рону умень­шения) за счет последовательного вхождения в область существования функции H (q) отрицательных и положительных выбросов функции W (F - q) реальная форма АЧХ  примет осциллирующий характер. Кроме того, за счет конечной ширины главного лепестка функции W (F - q) переходная зона в форме реальной АЧХ  неизбежно расширится.

Рассматривая возможные искажения формы реальной АЧХ  со спектральных позиций, мы установили, что расши­рение переходной зоны при взвешивании ДИХ обусловлено уменьшением интенсивности высших гармонических составляющих, формирующих резкие переходы в форме реальной АЧХ . Это означает, что среди всех возможных видов оконных функций наименьшую ширину переходной зоны можно обеспечить только с помощью прямоугольного окна. Следовательно, любая оконная функция, предназначенная для снижения уровня пульсаций в реальной АЧХ , должна в возможно меньшей степени расширять ее переходные зоны. Оказывается, что это очевидное требование не так просто вы­полнить, и однозначного решения в выборе оконных функций не существует.

Ниже приводятся данные для наиболее употребительных окон, используемых в расчете КИХ-фильтров.

1. Окно Ланцоша

                                                                  (7.52)

2. Окно Бартлета (треугольное окно), N –нечетное

                                      (7.53)

3. Окно Ганна ("хэннинг")

                                                               (7.54)

4. Окно Хэмминга

                                                         (7.55)

 

5. Окно Блэкмана

                              (7.56)

Как следует из предыдущего рассмотрения, уровень пульса­ций реальной АЧХ за счет интегрирования в сверточной опе­рации оказывается меньше уровня пульсаций в АЧХ окна. Так, например, пульсации реальной АЧХ КИХ-фильтра при использовании прямоугольного окна имеют уровень d _Н, не превышающий 10% (см. рис. 7.13). В то же время пульсации АЧХ прямоугольного окна достигают значения d _W = 22% (см. рис. 7.14). Такое же заключение можно сделать при сопостав­лении переходной зоны D _Н в реальной АЧХ КИХ-фильтра с шириной D _W главного лепестка АЧХ окна. Функциональную связь между рассматриваемыми величинами установить весьма сложно. Поэтому при оценке «качества» того или иного окна рассматриваются лишь два их собственных показателя:

– уровень пика d _W первого бокового лепестка АЧХ окна;

– ширина D _W главного лепестка АЧХ окна.

Эти показатели приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Окно	d W, дБ	D W
Прямоугольное	- 13	4p/N
Ланцоша	-20	8p/N
Бартлета	-25	8p/N
Ганна ("хэннинг")	-31	8p/N
Хэмминга	- 41	8p/N
Блэкмана	- 57	12p/N

 

Обращает на себя внимание то, что окна Ганна и Хэмминга, обеспечивая существенно большее подавление пульсаций по сравнению с окнами Ланцоша и Бартлета, имеют такую же ширину главного лепестка АЧХ (8p/ N). Казалось бы, что при всех обстоятельствах окно Хэмминга лучше, чем, например, окно Бартлета. Однако это не так. Дело заключается в том, что окна с малым уровнем первого бокового лепестка своей АЧХ, как правило, не обеспечивают достаточно быстрого ослабления остальных боковых лепестков. Поэтому результи­рующее затухание в областях непропускания АЧХ  (используемое, например, в оценке эквивалентной шумовой полосы фильтра) может оказаться меньше по сравнению со случаем, когда применяются окна с менее высоким уровнем первого всплеска АЧХ.

Применение рассмотренных видов окон исключает возможность минимизации ширины главного лепестка АЧХпри произвольном задании амплитуды пика первого бокового лепестка. Такая задача может быть решена с помощью окна Кайзера

                                                         (7.57)

где I ₀ – символ функции Бесселя 1-го рода нулевого порядка, a = = (N – 1)/2. Требуемый компромисс между величинами d _Н и D _Н достигается соответствующим выбором параметра A.

Рассмотрим влияние частоты дискретизации на ширину переходной зоны реальной АЧХ.

Если число отсчетов N в ДИХ фиксировано, то увеличение частоты дискретизации f _Д приведет к сокращению длительности КИХ в реальном времени. Как известно, длительность импульсной характеристики фильтра определяет его инерционность: чем меньше длительность импульсной характеристики, тем меньше инерционность фильтра. Уменьшение инерционности эквивалентно расширению полосы пропускания и переходных зон. Следовательно, при расчете КИХ-фильтров методом оконных функций частоту дискретизации необходимо выбирать как можно ниже.

Приведенное объяснение может быть подкреплено и другим доказательством. В табл. 7.1 приведены величины, определяющие ширину главного лепестка АЧХ окна D _W. Ширина переходной зоны АЧХ приближенно равна ширине главного лепестка, в связи с чем можно записать следующее выражение для ширины DF  переходной зоны: DF = = a p/ N, где значение a определяется выбранным типом окна. Переход от цифровых частот F к циклическим f дает: 2pD f / f _Д = a p/ N, откуда для ширины переходной зоны получим следующее выражение:

                                     D f = af _Д/2 N.                                           (7.58)

Таким образом, при выбранном значении N ширина переходной зоны D f [Гц] прямо пропорцио­нальна частоте дискретизации. Для иллюстрации данного положения рассмотрим расчет методом взвешивания низкочастотного КИХ-фильтра, у которого заданная АЧХ имеет прямоугольную форму, а час­тота среза f _С = 1 кГц. Для простоты рассмотрения в качестве окна выберем прямоугольное. При использовании прямоугольного окна АЧХ фильтра определяется выражением (7.43). Поло­жим, что число отсчетов ДИХ N = 30. Расчет проведем для двух значе­ний частоты дискретизации: а) f _Д = 4 кГц, б) f _Д = 8 кГц.

По результатам расчета построены графики реальных АЧХ на рис. 7.16 а) и б). На обоих рисунках отмечены пунктиром границы переходной зоны. Левая граница отсчитывается от начала спада АЧХ – от уровня 1, правая граница отмечает конец спада на уровне 0.

Рис. 7.16. Реальные АЧХ ФНЧ при вариации частоты дискретизации: а) f _Д = 4 кГц; б) f _Д = 8 кГц.

 

Измерения ширины переходной зоны по графикам реальных АЧХ дают следующие значения:

D f _РЕАЛ = 180 Гц, если f _Д = 4 кГц; D f _РЕАЛ = 270 Гц, если f _Д = 8 кГц.

Таким образом, качественно подтверждена зависимость ширины переходной зоны от значения частоты дискретизации.

Количественно измеренные значения D f не совпадают с вычисленными по выражению (7.58). Поскольку при построении АЧХ использовалось прямоугольное окно, то параметр a, в соответствии с табл. 7.1, равен: a = 4. Расчет ширины переходной зоны по формуле (7.58) дает следующие значения:

D f _РАСЧ = 266,7 Гц, если f _Д = 4 кГц, D f _РАСЧ = 533,4 Гц, если f _Д = 8 кГц.

Различие реальных и расчетных значений D f можно объяснить тем, что при теоретических расчетах ширина переходной зоны предполагалась равной ширине главного лепестка АЧХ окна. В действительности на ширину переходной зоны влияет не только главный лепесток, но и побочные, значения которых могут быть как положительными, так и отрицательными.

В заключение рассмотрим возможности модификации структурной схемы КИХ-фильтра с линейной ФЧХ. Эта модификация основана на специфике ДИХ (симметрия или антисимметрия ДИХ). Дальнейшее рассмотрение проведем, полагая, что ДИХ – симметричная и N – четное.

В разностном уравнении

y (n) = a ₀ x (0) + a ₁ x (1) +... + a_{N – 2} x (N – 2) + a_{N – 1} x (N – 1)

коэффициенты численно равны отсчетам симметричной ДИХ:

a ₀ = h (0) = h (N – 1),  a ₁ = h (1) = h (N – 2),..., a_{N /2–1}= h (N /2–1) = h (N /2).

Тогда разностное уравнение может быть представлено в таком виде:

y (n) = h (0)[ x (0) + x (N – 1)] + h (1)[ x (1) + x (N – 2)] +... +

   + h (N /2–1)[ x (N /2– 1) + x (N /2)].                                                (7.59)

Структурная схема, соответствующая выражению (7.59), приведена на рис. 7.17. Из рисунка следует, что в этом варианте структурная схема содержит в два раза меньше умножителей по сравнению с прямой формой.

Рис. 7.17. Модификация структурной схемы КИХ-фильтра с линейной ФЧХ.

 

В случае, когда ДИХ антисимметрична, перед одним из входов каждого двухвходового сумматора надо включить инвертор знака.