Прохождение шума квантования (цифрового белого шума) через цифровой фильтр

Условия, в рамках которых решается поставленная задача, формулируются так: на входе ЦФ действует шум квантования x_ВХ(n) с дисперсией s_ВХ². Требуется определить дисперсию s_ВЫХ² шумового процесса x_ВЫХ(n) на выходе ЦФ.

Дисперсия s_ВЫХ² равна среднеквадратичному значению выходной последовательности x_ВЫХ(n):

                                 .                                   (8.8)

Определим выходную последовательность x_ВЫХ(n) как дискретную свертку входного воздействия x_ВХ(n) с дискретной импульсной характеристикой (ДИХ) цифрового фильтра h (n):

                              .                             

Подставив это выражение в (8.8), получим:

                                                         (8.9)

Для упрощения выкладок представим в (8.9) средний квадрат через усредненное произведение двух сумм:

       .             (8.10)

Для того чтобы процедура усреднения приняла более конкретный вид, преобразуем (8.10), вынося знаки суммирования и ДИХ из-под знака усреднения:

             .           (8.11)

Последовательности x_ВХ(n – k) и x_ВХ(n – m) получены из одной и той же последовательности x_ВХ(n) путем ее сдвига, соответственно, на k  и  m тактов. Последовательность x_ВХ(n) представляет собой цифровой "белый" шум, отсчеты которого некоррелированы между собой. Следовательно

                       при   m ≠ k,

                  при m = k.

Таким образом, правая часть в (8.11) не равна нулю только при k = m. Для удобства записи последующего выражения примем k = m = n и окончательный результат выполненного вывода примет вид:

                                 .                                (8.12)

Отношение

                       .                                  (8.13)

назовем коэффициентом передачи мощности цифрового фильтра для шума квантования.

Одним из существенных факторов, определяющих характеристики цифрового фильтра, является выбранное значение частоты дискретизации. В данном рассмотрении особый интерес представляет выяснение зависимости коэффициента передачи мощности D от значения частоты дискретизации f _Д.

Чтобы это осуществить, надо преобразовать формулу для D так, чтобы представить импульсную характеристику h (n) функцией частоты дискретизации. Общей формулы для такой зависимости получить нельзя, поскольку выражение для ДИХ каждого типа цифрового фильтра (ЦФ) выводится индивидуально. Поэтому проведем рассмотрение на частном примере ЦФ, аналогом-прототипом которого является интегрирующий RC -фильтр 1-го порядка с постоянной времени t_Ф = RC. Его передаточная функция, как известно, содержит один полюс s _П = – 1/t_Ф и один нуль, удаленный в бесконечность. ЦФ с таким аналогом-прототипом описывается передаточной функцией

                                ,

и дискретной импульсной характеристикой

                                           h (n) = abⁿ.                                              (8.14)

Используя метод согласованного z -преобразования (см. §6.3), определим коэффициент b:

                 .                        (8.15)

Для того чтобы можно было определить интересующую нас зависимость D (f _Д) в рассматриваемых условиях, составим выражение для частотной характеристики ЦФ H (j Ф), нормированной к ее максимальному значению H_max:

                                                         (8.16)

где в нашем случае  

                                      (8.17)

                                                                          (8.18)

Подставляя (8.17) и (8.18) в (8.16), получим:

                                                        (8.19)

При этом выражение (8.14) для ДИХ примет вид:

                                                                                  (8.20)

Подставив (8.20) в (8.13), получим искомое выражение для коэффициента передачи мощности для шума квантования:

                                                                 (8.21)

Рассматривая (8.21) как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем b ², запишем:

                                                                           (8.22)

Преобразуем полученное выражение, используя разложение в ряд логарифмической функции:

                .

Поскольку этот ряд быстро убывающий, то можно ограничиться только его первым членом. Тогда получим:

                              

Перепишем последнее выражение в виде:

                              

и подставим в него выражение (8.15) для b. В результате получим:

                        

и окончательно:

                                                                                     (8.23)

 

Рис. 8.3. Зависимость спектральной плотности шума квантования от частоты дискретизации.

 

Из (8.23) следует, что коэффициент передачи мощности шума квантования обратно пропорционален частоте дискретизации. Для объяснения этого явления обратимся к рис. 8.3. На нем приведены графики одинаковых АЧХ двух цифровых фильтров. Графики изображены наложенными друг на друга и отмечены как АЧХ_1,2. Фильтры, которым принадлежат АЧХ_1,2, рассчитаны при различных частотах дискретизации f _Д1 и f _Д2, причем f _Д2 > f _Д1. На входах обоих ЦФ действует одинаковый шум квантования равной мощности, характеризуемой дисперсией s_вх². Значение s_вх² может быть определено из выражения:

                                s_вх² = G _вх×D f,                                               (8.24)

где G _вх - спектральная плотность, D f - диапазон частот, в котором действует шум квантования. В нашем случае диапазоном D f является интервал Найквиста, верхняя граница которого равна f _Д/2, и при большем значении f _Д эта граница проходит выше. Поскольку в (8.24) значение s_вх² постоянно, то расширение D f приводит к снижению спектральной плотности G _вх, что и отражено на графиках рис. 8.3. Таким образом, при увеличении частоты дискретизации мощность шума на выходе ЦФ (дисперсия s_вых²) падает, что приводит к снижению коэффициента D = s_вых²/s_вх².

Проведенное рассмотрение носит качественный характер, но ясно, что оно в той же мере относится и к другим типам ЦФ, имеющим различные формы АЧХ.

В качестве другого примера рассмотрим вывод выражения для коэффициента передачи мощности шума квантования в цифровом синхронном накопителе (однородном фильтре).

В подразделе 7.5 приведена формула для ДИХ такого фильтра:

       h (n) = d(n) + d(n - 1) +... + d[ n - (N - 1)].  

Подставив эту формулу в (8.13), получим:

        (8.25)

так как под знаком суммы находятся N слагаемых, и значение каждого из них равно единице.

Расчет коэффициента D по формуле (8.13) для ЦФ, порядок которого достаточно большой, оказывается крайне затруднительным. В этом легко убедиться, если в (8.13) ввести выражение для ДИХ, как обратное   z -преобразование передаточной функции ЦФ и просто визуально оценить сложность предстоящих вычислений:

                       

Сравнительно легко задача определения D решается, если в процессе проектирования ЦФ создана его компьютерная модель. Тогда с помощью дополнительной несложной программы можно воссоздать ДИХ при сколь угодно большом n и суммировать квадраты ее отсчетов.

Рассмотрим прохождение шума квантования через ЦФ с другой точки зрения, позволяющей вывести более простую формулу для D в общем виде. Рассмотрение базируется на использовании понятия эквивалентной шумовой полосы P_Ш фильтра. Это понятие широко применяется, например, при оценке шумовых свойств трактов высокой частоты радиоприемных устройств.

 Итак, рассмотрим ЦФ, на входе которого действует цифровой "белый" шум (шум квантования) с дисперсией s_вх² и постоянной спектральной плотностью G _вх вплоть до верхней границы интервала Найквиста f _Д/2. При действии цифрового "белого" шума справедливо выражение:

                                     s_вх² = G _вх∙ f _Д/2.                                      (8.26)

Спектральная плотность шума на выходе ЦФ зависит от частоты, так как определяется формой его АЧХ H (f):

                               G _вых(f)= G _вх∙ H ²(f).

Дисперсия выходного шума определяется суммированием составляющих его спектра. Поскольку этот спектр непрерывный, то

                                       (8.27)

Выразим в (8.27) H (f) через нормированную АЧХ: H (f) = H _max∙ H _норм(f). Тогда

                                           (8.28)

Рассмотрим последний интеграл. Численно он равен площади под кривой H ²_норм(f). Заменим график H ²_норм(f)прямоугольником с такой же площадью и сторонами: 1 и P_Ш (см. рис. 8.4). Величина P_Ш называется эквивалентной шумовой полосой фильтра, или, просто, шумовой полосой:

                              .                             (8.29)

 

Рис. 8.4. К определению эквивалентной шумовой полосы фильтра.

 

Теперь (8.28) можно переписать в виде:

                               s_вых² = G _вх H ²_maxP_Ш.                                  (8.30)

Используя (8.26) и (8.30), составим выражение для D:

                                                             (8.31)

Сразу же отметим, что из (8.31) следует тот же вывод, что и ранее – коэффициент D обратно пропорционален частоте дискретизации f _Д.

Расчет D рассмотренным методом сводится к использованию формулы (8.31). В ней величины H _max и f _Д являются заданными, и определению подлежит только шумовая полоса P_Ш. В большом числе практических случаев при расчете P_Ш не требуется интегрирования по выражению (8.29). Например, при проектировании цифровых резонаторов в виде каскадно включенных биквадратных блоков расчет P_Ш выполняется по формуле:

                                  P_Ш = B P_0,7,                                              (8.32)

где P_0,7 – расчетное значение полосы пропускания многокаскадного резонатора по уровню 0,7; B – числовой коэффициент.

Значение B зависит от числа m используемых каскадов (биквадратных блоков) и быстро приближается к единице с ростом m (табл. 8.1). Так, при m = 1 имеем: B = p/2 ≈ 1,57, а при m = 6 значение B = 1,1.

                                                                                        Таблица 8.1.

m
B	1,57	1,22	1,16	1,13	1,11	1,10	1,09	1,09