2021-11-13
65
В состав ЦФ входят умножители, каждый из которых, как мы это сейчас увидим, является источником шума. Произведение двух b -разрядных чисел имеет удвоенную разрядность. Для того чтобы использовать произведение в последующих вычислениях, необходимо ограничить его b разрядами. Это делают, выполняя одну из двух процедур: либо процедуру усечения, либо процедуру округления. Каждая из этих процедур приводит к неточному представлению младшего разряда числа. Дальнейшее рассмотрение проводится в предположении, что выполнена процедура округления. Реальный результат p (n) умножения последовательности s (n) с b -разрядными отсчетами на коэффициент a, имеющий такое же число разрядов, можно представить как сумму "идеальной" 2 b -разрядной последовательности p ИД(n) и последовательности e (n), каждый отсчет которой представляет ошибку округления:
p (n) = p ИД(n) + e (n). (8.33)
Нет необходимости в отдельном рассмотрении, чтобы показать, что ошибки округления e (n) имеют ту же природу происхождения, как и ранее рассмотренный шум квантования x(n). Схемная иллюстрация выражения (8.33) показана на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Образование ошибки округления.
Характеристикой каждого источника шума в составе ЦФ является дисперсия s e 2:
.
Предположим, что в состав ЦФ входят k умножителей – источников шума округления. Шум источника с номером k проходит на выход ЦФ, в результате чего там образуется выходная шумовая последовательность, дисперсию которой определим, используя выражение (8.13):
,
где hk (n) – ДИХ, определяемая от точки приложения шума ek (n) до выхода ЦФ.
Поскольку процессы ek (n) некоррелированы, то дисперсия результирующего шума округления на выходе ЦФ определяется суммированием дисперсий шума отдельных составляющих:
При оценке шумовых свойств реальных ЦФ необходимо кроме шума округления с дисперсией s e вых2 учитывать также и шум квантования с дисперсией sxвых2:
sвых2 = s e вых2 + sxвых2.
Рис. 8.6. Структура биквадратного блока: а)по канонической форме I; б)по канонической форме II.
В качестве примера определим результирующий шум sвых2 на выходе цифрового биквадратного блока, выполненного в двух структурных вариантах – канонических формах I и II (рис. 8.6,а и б). В каждой структуре содержится по четыре источника шума – это умножители на коэффициенты a 1, a 2, b 1, b 2. Однако шум от этих источников поступает на выход разными путями. В структуре I, которая приведена на рис. 8.6,а, шум умножителей b 1 и b 2 рекурсивной части ЦФ с суммарной дисперсией 2s e 2 действует на сумматор S1, т.е. на входе ЦФ. Здесь же, на вход ЦФ, поступает шум квантования sx2. Эффект на выходе ЦФ от действия этих трех составляющих равен
,
где s2 = s e 2 = sx2 = 2-2 b /12, а h (n) - ДИХ ЦФ, определяемая от входа ЦФ до его выхода. Кроме того, непосредственно на выходе ЦФ (сумматор S2) действует еще шум от умножителей a 1 и a 2 нерекурсивной части ЦФ с суммарной дисперсией:
.
Результирующий шум на выходе ЦФ со структурой I равен:
В структуре II, изображенной на рис. 8.6 б), сумматор S1 расположен на входе рекурсивной части ЦФ. Таким образом, все четыре составляющих шума, поступающие на вход "2" этого сумматора, создают на выходе ЦФ шум с дисперсией
где h Р(n) - ДИХ только рекурсивной части ЦФ. Кроме того, на выходе ЦФ действует еще одна составляющая - s2 ВЫХ2, обусловленная шумом квантования sx2 = s2 на входе ЦФ:
где h (n) - ДИХ фильтра, определяемая от его входа до выхода.
Дисперсия результирующего шума на выходе ЦФ со структурой II равна:
Выпишем отдельно полученные результаты:
структура I: sI.ВЫХ2 = s2(3 D + 2) = s2× Q I.
структура II: sII.ВЫХ2 = s2(D + 4 D Р) = s2× Q II.
Здесь 
Сравнивая выражения для Q I и Q II, можно сказать, что числовое соответствие этих величин зависит от соотношения значений D и D Р, которые для различных ЦФ могут существенно различаться. Таким образом, при оценке шумовых свойств ЦФ заранее отдать предпочтение той или иной структурной форме нельзя.
В качестве примера вышесказанного приведем результаты расчета суммарной дисперсии, полученные при моделировании цифровых резонаторов, выполненных в структурных формах I и II.
1) Первый фильтр. Примем коэффициенты равными: a 1 = - 0,4; a 2 = - 0,6; b 1 = 0; b 2 = - 0,8.
- Структура I: D = 6,88; Q I = 3 D + 2 = 22,64; sI вых2 = 22,64s2.
- Структура II: D = 6,88; D Р = 2,77; Q II = 4 D Р + D = 17,96;
sII вых2 = 17,96s2.
Здесь sI вых2 > sII вых2, т.е. предпочтительнее выполнение ЦФ по структуре II.
2) Второй фильтр. Примем коэффициенты равными: a 1 = - 0,6; a 2 = 0,75; b 1 = 0; b 2 = - 0,8.
- Структура I: D = 2; Q I = 3 D + 2 = 8; sI вых2 = 8s2.
- Структура II: D = 2; D Р = 2,77; Q II = 4 D Р + D = 13,08;
sII вых2 = 13,08s2.
Для этого фильтра выгоднее использовать структуру I, так как sI вых2 < sII вых2.
Так как при использовании 16-разрядного вычислителя и шкале напряжений 0¸1В эффективное значение шума s приближенно равно 4×10-6В, то значения sI вых и sII вых имеют порядок 10-5¸10-4В.
