Будущая стоимость постоянной ренты постнумерандо

Финансовая рента и ее основные параметры. Классификация рент

Тема 4. Финансовая рента

Современные финансово-банковские операции часто предпола­гают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последо­вательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, вы­плата пенсий и т.д. Такие последовательности, или ряды, плате­жей называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления – положительными. Заметим, что в западной финан­совой литературе в аналогичном смысле применяется термин «cash flows» (дословно – потоки наличности). Отдельный элемент это­го ряда назовем членом потока. Введение понятия «поток плате­жей» в практику финансового количественного анализа, что про­изошло сравнительно недавно, заметно расширило рамки и воз­можности последнего.

Потоки платежей могут быть:

ü регулярными;

ü нерегулярными – членами явля­ются как положительные (поступления), так и отрицательные вели­чины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей, все члены которого положитель-ные величины, а временные интервалы между платежами постоянны. На­пример, рентой являются последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Во всех приведен­ных случаях выплаты или получения денег производятся через равные промежутки времени. Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, существенно упрощает количественный их анализ, дает воз­можность применять стандартные формулы и таблицы значений ряда необходимых для расчетов коэффициентов и быстро выпол­нять расчеты на калькуляторах.

Рента характеризуется следующими параметрами:

ü член ренты (R) – размер каждого отдельного платежа;

ü период ренты (t) – временной интервал между двумя последовательны­ми платежами;

ü срок ренты (n) – время от начала первого пери­ода ренты до конца последнего периода;

ü процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях финансовой рен­ты, вместе с тем этот параметр крайне необходим для ее анализа.

При характеристике отдельных видов рент необходимы дополни­тельные условия и параметры: число платежей в году, способ и ча­стота начислений процентов.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В ос­нову их классификации могут быть положены различные признаки. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р–количест­во выплат в году). В анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансо­вой практике встречаются и с такими последовательностями плате­жей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

2. По количеству начислений процентов на протяжении года раз­личают:

ü ренты с ежегодным начислением;

ü с начислением mраз в году;

ü с непрерывным начислением.

Моменты начисления процен­тов необязательно совпадают с моментами выплат членов ренты. Однако, как будет показано, расчеты заметно упрощаются, если два указанных момента совпадают.

3. По величине своих членов ренты делятся на:

ü постоянные –с оди­наковыми платежами;

ü переменные – члены переменных рент изме­няют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, напри­мер арифметической или геометрической прогрессии, либо несис­тематично (задаются таблицей).

4. По вероятности выплат ренты делятся на:

ü верные – подлежат безусловной уплате, например при погашении кредита. Число членов такой рен­ты заранее известно;

ü условные – выплата условной ренты ста­вится в зависимость от наступления некоторого случайного собы­тия. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты – обобщающее понятие для всех видов страхования ренты и пенсии, означающее, что страхователь единовременно или в рассрочку вносит страховому учреждению оговоренную сумму денег, а затем в течение нескольких лет или пожизненно получает регулярный доход. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.

5. По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, т.е. ограниченные по срокам ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные,ренты. С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой си­стемы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривает­ся конкретными датами. В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по облигационным займам с неограниченными сроками.

6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные.

Немедленный аннуитет – аннуитет, который приобретается на основе единовременного платежа и выплаты по которому начинаются сразу же после вступления договора в силу.

Отложенный аннуитет – аннуитет, начало выплат у которого сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени, приобретаемый единичным платежом или периодическими взносами. Выплаты по отложенному аннуитету начинаются в будущем. До этого срока страховая компания вкладывает взносы и накапливает проценты с этих вложений.

Отсроченный аннуитет – аннуитет, при котором первая выплата осуществляется в определенный день в конце первого года после заключения договора.

7. По моменту выплат пла­тежей в пределах периода ренты делятся на:

ü постнумерандо (обыкновенные), если платежи по ренте осуществляются в конце периодов;

ü пренумерандо,если платежи по ренте производятся в начале периодов.

Иног­да контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Пример 22. Контракт предусматривает периодическое по­гашение задолженности выплатой в конце каждого полугодия оди­наковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет. Первая вы­плата в счет погашения основной суммы долга производится спус­тя два года после подписания контракта

Решение:

Таким образом, предусматривается постоянная, полуго­довая, верная, ограниченная, отложенная относительно даты заключе­ния договора, рента постнумерандо.

Обобщающие параметры потоков платежей. В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы (будущей стоимости) или современной стоимости.

Наращенная сумма (будущая стоимость) – это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к кон­цу срока процентами.

Современная стоимость потока плате­жей – это сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый отмечающий начало момент времени.

Конкретный смысл этих характеристик определяет­ся содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задол­женности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накоплен­ный денежный резерв и т.д. В свою очередь, современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инве­стиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т.п.

Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых опе­раций, получим формулы для расчета будущей стоимости всех видов постоянных рент, хо­тя для понимания существа дела достаточно разобраться с расчетом соответствующих характеристик годовой ренты.

Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая – годовой рен­ты постнумерандо. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по Rруб. На взносы начисляются сложные процен­ты по ставке i% годовых. Таким образом, имеется рента, член кото­рой равен R, а срок n.Все члены ренты, кроме последнего, прино­сят проценты – на первый член проценты начисляются n - 1 год, на второй n- 2и т.д. На последний взнос проценты не начисля­ются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенные к концу срока каждого взноса суммы составят:

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со зна­менателем (1 + i) и первым членом R.Число членов прогрессии рав­но n.Искомая величина равна сумме членов этой про­грессии. Отсюда будущая стоимость финансовой ренты рассчитывается по формуле:

Схема расчета будущей стоимости финансовой ренты постнумерандо (рента, платежи по которой осуществляются в конце периода) представлена на рис. 6.

время

Рис. 6. Схема расчета будущей стоимости финансовой ренты

Пример 23. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 рублей, на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента (проценты начисляются один раз в год); взносы будут в конце периода ренты, значит это рента постнумерандо; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

руб.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n * R = 5 * 500 = 2500 руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = S - P = 4522 - 2500 = 2022 руб.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2022 руб.

Величина ренты при заданной наращенной (будущей) стоимости определяется по формуле:

,

где R_S – величина ренты.

Пример 24. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50000 рублей. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

руб.

Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4568 рублей.

Годовая рента, начисление процентов mраз в году. Пусть анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты на­числяются mраз в году. Члены ренты с начисленными к концу сро­ка процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):

,

где j– номинальная ставка процентов.

И в этом случае мы имеем дело с возрас­тающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R,знаменатель – (1 +j/m)^m.Сумма членов этой прогрессии равна

где n – срок ренты.

Пример 25. По данным примера 23, изменив условия: проценты начисляются поквартально.

Решение:

В этом случае рента с начислением процентов 4 раза в год, а общее количество начислений составит 20 раз. Отсюда сумма всех взносов с начисленными на них процентами будет равна:

руб.

Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:

I = S - P = 4841 - 2500,00 = 2341 руб.

Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов.

Рента р-срочная (m = 1). Пусть рента выплачивается рраз в году рав­ными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p.Общее число членов ренты равно n*р.Ряд членов ренты с начислен­ными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p,знаменатель – (1 + i)^1/p. Наращенная сумма членов этой прогрессии:

где р – количество выплат в году.

Рента р-срочная (p = m). На практике часто встречаются случаи, ко­гда число выплат в году равно числу начислений процентов, т.е. когда р = m.Для получения необходимой формулы воспользуемся формулой , в которой i заменяется на j/m,а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты n*р,член ренты равен R/p.Поскольку р = m, то в итоге получим:

Искомая величина может быть получена и по формуле .

В этом случае вместо числа лет подставляем в формулу число перио­дов, а вместо годового члена ренты – выплату за период, кроме то­го, вместо годовой ставки берется ставка за период.

Рента р-срочная (p m). Определим теперь будущую стоимость для наиболее общего случая – р-срочная рента с начислением процен­тов mраз в году, т.е. когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов. Общее количество членов ренты равно n*р,вели­чина члена ренты R/p.Члены ренты с начисленными процентами образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом R/pи знаменателем (1 + j/m)^m/p. Сумма членов такой про­грессии составит: