Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения материальной точки.

Сложение колебаний м.т. проводится геометрически, введением понятия амплитуды.

Вектор амплитуды - это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.

Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой :

,

где – угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени. Сложим два гармонических колебания вдоль оси X (рис 1.13.

;

;

где

Так как колебания происходят вдоль одной прямой, то результирующая координата:

.

Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторов и . Проекция конца вектора определяет результирующая координате x. Так как оба вектора, и , вращаются в процессе колебаний с угловой скоростью , с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды .

Для времени t=0

для произвольного момента времени t

,

где и - амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.

Из по теореме косинусов находим амплитуду и начальную базу колебания:

,

,

, (1.48)

где .

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний. Если , где , то и . Колебания усиливают друг друга.

Если , то и Если разность фаз равна нечётному числу , колебания гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале

.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой для нескольких условий:

1. Пусть , причём (или ), и

Уравнение колебаний:

Координата результирующего колебания

(1.49)

Так как , то векторы амплитуды вращаются с разными угловыми скоростями.

Сумма косинусов и координата определяются из соотношений:

Выделенный множитель изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель. За время, в течение которого второй множитель совершает полное колебание, первый почти не изменяется (так как по условию <<). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой , у которого амплитуда .

Рис 1.14

Гармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.

Частота и период биений

,

где - частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частота биений.

1. Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осей x и y, причём

Уравнения для координат точки.

Разделив второе уравнение на первое, получим

Полученное соотношение представляет прямую, проходящую

через начало координат и наклонённую к оси х под углом

.

Точка будет совершать гармоническое колебание вдоль этой прямой:

где - амплитуда колебания.

1. При сложении колебаний, когда

Уравнение для координат точки.

Разделив одно уравнение на другое, получим уравнение прямой с отрицательным тангенсом угла наклона.

Для

Перепишем эти уравнения в виде

Возведём в квадрат и почленно сложим:

Полученное уравнение есть уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний и . При эллипс превращается в окружность.

Если равность фаз слагаемых колебаний равна то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.

Если , движение происходит против часовой стрелки.

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с неодинаковыми циклическими частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот складываемых колебаний и разности их начальных фаз.