2014-02-13
4491
Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения материальной точки.
Сложение колебаний м.т. проводится геометрически, введением понятия амплитуды.
Вектор амплитуды 
- это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.
Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, с угловой скоростью 
, то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой 
:
,
где 
– угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени. Сложим два гармонических колебания вдоль оси X (рис 1.13.
;
;
где 
Так как колебания происходят вдоль одной прямой, то результирующая координата:
.
Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторов 
и 
. Проекция конца вектора определяет результирующая координате x. Так как оба вектора, и , вращаются в процессе колебаний с угловой скоростью , с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды .
Для времени t=0
для произвольного момента времени t
,
где 
и 
- амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.
Из 
по теореме косинусов находим амплитуду и начальную базу колебания:
,
,
, (1.48)
где 
.
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз 
слагаемых колебаний. Если 
, где 
, то 
и 
. Колебания усиливают друг друга.
Если 
, то 
и 
Если разность фаз равна нечётному числу 
, колебания гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале
.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой для нескольких условий:
1. Пусть 
, причём 
(или 
), 
и 
Уравнение колебаний:
Координата результирующего колебания
(1.49)
Так как 
, то векторы амплитуды вращаются с разными угловыми скоростями.
Сумма косинусов и координата определяются из соотношений:
Выделенный множитель изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель. За время, в течение которого второй множитель совершает полное колебание, первый почти не изменяется (так как по условию 
<<
). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой 
, у которого амплитуда 
.
|
Гармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.
Частота и период биений
, 
где 
- частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частота биений.
Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осей x и y, причём
Уравнения для координат точки.
Разделив второе уравнение на первое, получим
Полученное соотношение представляет прямую, проходящую
через начало координат и наклонённую к оси х под углом
.
Точка будет совершать гармоническое колебание вдоль этой прямой:
где 
- амплитуда колебания.
- При сложении колебаний, когда
Уравнение для координат точки.
Разделив одно уравнение на другое, получим уравнение прямой с отрицательным тангенсом угла наклона.
Для 
Перепишем эти уравнения в виде
Возведём в квадрат и почленно сложим:
Полученное уравнение есть уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний 
и 
. При 
эллипс превращается в окружность.
Если равность фаз слагаемых колебаний равна 
то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.
Если 
, движение происходит против часовой стрелки.
При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с неодинаковыми циклическими частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот складываемых колебаний и разности их начальных фаз.
