τ = Gγ = Gρdυ/dz. (3)
Как видим, при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.
Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня представлена на рис. 7 справа.
В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю. Наибольшие касательные напряжения будут в точках сечения, расположенных у поверхности стержня.
Зная закон распределения касательных напряжений, легко определить их из условия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:
, (4)
где τρdA — элементарный крутящиймомент внутренних сил, действующих на площадке dА.
Подставив в (4) значение напряженийиз формулы (3), получим
. (5)
Имея в виду,что
, (6)
где Ip — полярный момент инерции сечения, получим
dυ/dz=T/(GIp). (7)
Подставляя значение dυ/dz в формулу (3), имеем
τ=Tρ/Ip. (8)
В частном случае, когдана стержень действует один внешний скручивающий момент Те, (рис. 9), из условия равновесия отсеченной части стержня получим Т=Те.
|
|
Таким образом, окончательная формула для определения касательных напряжений при кручении имеет вид
τ=Tρ/Ip
Как видно из этой формулы, в точках, одинаково удаленных от центра сечения, напряжения τ одинаковы.
Наибольшие напряжения в точках у контура сечения
τmax =Tr/Ip=T/Wp, (9)
где
Wp=Ip/r.
Геометрическая характеристика Wp называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кручении.
Рисунок 9
Для круглого сплошного сечения
Wp=Ip/r=(πd4)/(32d/2)=πd3/16≈0,2d3. (10)
Для кольцевого сечения
Wp=2Ip/D=[π(D4–d4)]/(16D)=(πD3/16)(1–c4) ≈0,2D3(1–c4),
где с=d/D.
Условие статической прочности вала при крученииимеет вид
τmax=T/Wp≤ [τ]. (11)
Здесь [τ] — допускаемое касательное напряжение.
При действии статической нагрузки принимают (без учета концентрации напряжений и других факторов, снижающих прочность) [τ] =(0,5÷0,6) [σ]. Кроме проверки прочности по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных остальных величинах.
Допускаемый из условия прочности крутящий момент определяют по формуле
[T]=Wp[τ]. (12)
При кручении во всех точках стержня, кроме точек его оси (в которых вообще не возникает напряжений), имеет место двухосное напряженное состояние — чистый сдвиг. При кручении материал у поверхности стержня напряжен сильнее, чем материал, расположенный ближе к оси стержня. Таким образом, напряженное состояние является неоднородным. Если же скручивать тонкостенную трубу, то можно считать, что практически во всех точках ее стенки возникают одинаковые напряжения, т. е. в этом случае напряженное состояние будет однородным. Опыты с кручением таких труб используют обычно для изучения чистого сдвигаи, в частности, для установления предела текучести при сдвиге τy.
|
|
3. ДЕФОРМАЦИИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛОВ
Для вычисления деформаций валапри кручениивоспользуемся формулой(5):
dυ=Tdz/(GIp). ( 13 )
Деформациявала на длине z (взаимный угол поворота сечений ) равна
. (14)
Если крутящиймомент и величина GIp,называемая жесткостью вала при кручении, постояннына всемучастке интегрирования, то
υ=Tz/(GIp). (15)
Аналогично, для вала длиной l получим
υ=Tl/(GIp). ( 16 )
Эта формула по своей структуре аналогична формуле для определения деформаций при растяжении — сжатии.
Угол закручивания, приходящийся на единицу длины,называют относительным углом закручивания. Он равен
=υ/l=T/(GIp). (17)
Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т. е.
=T/(GIp)≤. (18)
Эта формула выражает условие жесткости вала при кручении, В этой формуле — допускаемый относительный угол закручивания в радианах на единицу длины вала.
В большинстве случаев допускаемыйотносительный угол закручивания задают в градусах на 1 м длины, тогдавзамен формулы (18) получим
(19)
Угол выбирают в зависимости от назначения вала и его размеров. Для валов средних размеров в «Справочнике машиностроителя» рекомендуется принимать допускаемый угол закручивания равным 0.5° на 1 м длины.
Из условия (19) можно определить диаметр вала по заданной жесткости. Имея в виду, что Ip≈ 0.1d4, получаем
. (20)