Определение внутренних усилий при изгибе

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают два внутренних усилия (внутренних силовых фактора) — изгибающий момент и по­перечная сила . Для их опреде­ления применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, напри­мер на расстоянии от левой опо­ры (рис. 3, а). Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части.

Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями:

изгибающим моментом и по­перечной силой (рис. 3, б).

Рисунок 3

Для определения М и Q исполь­зуем два уравнения равновесия:

1.

2.

Таким образом,

1) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

2) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относи­тельно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

4. ПРАВИЛО ЗНАКОВ ДЛЯ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ

Поперечная сила в сечении балки (рис. 4, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа — сверху вниз, и отрицательной —в противоположном случае (рис. 4,б).

Изгибающий момент в сечении балки, например в сечении (рис. 5, а), считается положительным, если равнодей­ствующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа — против часовой стрелки, и отрица­тельным — в противоположном случае (рис. 5, б). Моменты, изображенные на рис. 5, а, изгибают балку выпуклостью вниз, а моменты, изображенные на рис. 5, б, изгибают балку выпуклостью вверх.Это можно легко проверить, изгибая тонкую линейку.

Рисунок 4

Рисунок 5

Отсюда следует другое, более удобное для запоминания правило знаков для изгибающего момента. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз.

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов будем придерживаться следующих правил:

1. Положительное значение поперечной силы будем откладывать, согласно направлению оси , от базисной горизонтальной линии вверх, а отрицательное – вниз.

2. Эпюру строить со стороны растянутых волокон, т.е. положительные значения откладывать вниз, так как эти моменты, согласно принятому правилу знаков, вызывают растяжение нижних волокон, а отрицательные значения – вверх.

Заметим, что используют и обратное правило: эпюру строят со стороны сжатых волокон, т.е. положительные ординаты эпюры откладывать вверх от базисной линии, а отрицательные - вниз. Это правило обычно применяют в учебных пособиях, предназначенных для студентов машиностроительных специальностей.

5. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ, ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ И ИНТЕНСИВНОСТЬЮ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ

Между изгибающим моментом, поперечнойсилой и интен­сивностью распределенной нагрузки легко установить опреде­ленную зависимость.

Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой ( рис. 6). Определим поперечную силу в сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии . Проецируя на вертикаль силы, расположенные левее сечения, получаем

Аналогично вычислим поперечную силу всмежном сечении, расположенном на расстоянии от левойопоры:

Вычитая первое уравнение извторого, получаем , откуда

(1)

т. е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.