Модель Томаса-Ферми

Полуэмпирическая массовая формула Бете-Вейцзекера для энергии связи основана на модели жидкой капли. Это, конечно, крайне упрощенная модель, так как ядро имеет очень много свойств, которые проще объяснять, основываясь на картине независимого движения нуклонов в нём, чем на представлении о движении нуклонов, сильно взаимодействующих между собой, как предполагалось в модели жидкой капли.

Предположим, что нуклоны в ядре движутся совершенно свободно внутри очень большого шара радиусом R=R₀A^1/3, где R₀=1,3 Фм, и подчиняются только принципу запрета Паули. Ситуация представлена на рис. 4.5, на котором изображены две потенциальные ямы: одна для нейтронов, а другая для протонов. Свободные нейтроны и протоны, находящиеся далеко за пределами своих ям, имеют одну и ту же энергию, так что нулевые энергии обеих ям должны совпадать, как это показано на рис. 4.5. Вместе с тем обе ямы имеют различную форму и разную глубину, так как нужно учитывать кулоновскую энергию протонов. Дно протонной ямы должно быть выше дна нейтронной ямы как раз на величину Е_с. Кроме того, протонная яма должна иметь кулоновский барьер, окаймляющий её, так как протоны, которые стремятся проникнуть в ядро снаружи, отталкиваются электрическим зарядом ядра; они вынуждены либо «туннелировать» сквозь барьер, либо должны иметь энергию выше высоты барьера.

Рис. 4.5. Потенциальные ямы для нейтронов и протонов в ядре. Параметры ям выбираются так, чтобы получить наблюдаемую величину энергии В¢.

Каждая из ям на рис. 4.5 содержит по конечному числу уровней, причем каждый из уровней может быть занят не более чем двумя нуклонами. Предполагается, что температура ядра очень мала и нуклоны занимают только самые низкие доступные им состояния (вырожденный Ферми газ). Нуклоны заполняют все состояния в ямах вплоть до уровня максимальной кинетической энергии, которая равна энергии Ферми E_F. Полное число n состояний с импульсами до p = p_max можно получить, пользуясь формулой

. (4.14)

Каждое отдельное импульсное состояние в яме может быть занято двумя нуклонами, так что полное число нейтронов, обладающих импульсами, меньшими p_макс, равно 2 n. В этом случае полное число нейтронов в ядре равно

, (4.15)

где p_max -максимальный импульс нейтрона, а V -объём ядра. Считая, что , из (4.15) для максимального импульса нейтрона получаем следующее значение:

. (4.16)

Аналогично рассуждая, для максимального импульса протона имеем

. (4.17)

Соответствующее значение энергии Ферми можно найти, рассматривая ядра с равным числом нейтронов и протонов. Подставляя числовые значения величин, входящих в формулу (4.6), и используя нерелятивистское соотношение между энергией и импульсом, получаем

(4.18)

Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на один нуклон, равна

. (4.19)

Используя формулы (4.16) и (4.17), для полной средней кинетической энергии получаем <E(Z,N)>=N<E_N>+Z<E_Z>= или

. (4.20)

Формула (4.20) получена в предположении, что протон и нейтрон имеют одинаковую массу, а также, что радиусы протонных и нейтронных ям равны между собой. Кроме того считается, что протоны и нейтроны движутся независимо друг от друга. Взаимодействие между нуклонами учитывается фактом наличия потенциальных ям для нуклонов ядра.