2014-02-09
1685
Приступим к анализу уравнения (8).
Кривая представленная на этом рисунке будет иметь такой же вид, если мы учитываем взаимодействие атомов с ближайшими соседями, но с более удаленными. В уравнение (8) мы имеем зависимость 
от 
. Обратим внимание на область малых к, кот. соответствует области больших длин волн, а большие длины волн соответствуют макроскопической теории упругости.
1) 
Вытекает, что в области больших или низких частот дисперсия отсутствует.
, 
- скорость звука; 
- фазовая скорость;
никакой дисперсии нет, 
- групповая скорость.
, 
- линейная плотность.
Даже в рамках грубой одномерной модели можно рассчитать коэффициент жесткости 
, если известна скорость звука в данном твердом теле.
Модуль объемной упругости.
(10), 
Рассматриваемое низкочастотное приближение справедливо вплоть до 
Гц.
2) Из приведенного графика видно, что по мере перехода по все более коротким волнам достигает предельного значения.
3) В области промежуточных частот происходит сильная дисперсия скорости звука. В общем виде зависимости фазовой и групповой скорости от к имеют вид:
|
|
|
(11)
Из (11) уравнения видно, что при 
или при 
групповая скорость 
. При этом соседние атомы колеблются в противоположных фазах.
4)Есть участки кривой на рисунке изображение штриховой линией. Эти участки не имеют физического смысла, т.к. 
нечему колебаться.
Выше мы говорили, что в кристалле могут возникать упругие волны различных частот, колебания какой-то одной частоты наз. модой колебаний.
Т.о. разрешенная и имеющая физический смысл нормальные моды колебаний - это те волновые числа, которые заключены в интервале 
.
Эту область значений к наз. первой зоной Бриллюэна одномерной цепочки. Т.о. приходим к выводу, что первая зона Бриллюэна содержит полный спектр колебаний сосредоточенных в этой области. Тот факт, что при 
групповая скорость = 0, говорит о том, что на границе 1-ой зоны Бриллюэна происходит отражение волны и образуется стоячая волна. Полученное дисперсионное уравнение и наши рассуждения не совсем отражают действительность, поскольку при выводе уравнения (8) мы сделали предположение, что атомы взаимодействуют только с ближайшими соседями. Если снять это ограничение, то оказывается, что решение остается неизменным по форме и, более того, остаются справедливыми условия, которые определяют и ограничивают область разрешенных значений к. Однако уравнение (8) оказывается не совсем правильным, соответствующее ему уравнение окажется более сложным по форме и будет зависеть не только от одной упругой постоянной. Тем не менее, оно покажет переход к сплошной среде при больших 
и исчезновение 
.
|
|
|
