Колебательные моды линейной одноатомной цепочки

Закон дисперсии. Вывод уравнения дисперсии.

Одноатомной решетка – кристалл, кот. состоит из атомов одного сорта. В целях упрощения рассмотрим линейную одноатомную цепь. Для простоты рассмотрим распределение упругой продольной волны вдоль линейной цепи, состоящей из одинаковых атомов. Через V обозначим смещение атома от положения равновесия в некоторый момент времени. Запишем уравнение плоской волны:

(1)

А - амплитуда колебаний частиц участвующих в волновом процессе;

- волновой вектор (); - угловая (циклическая) частота.

Атомы, имеющие массу m, расположены на расстоянии, а друг от друга. Для этой последовательности смещение атомов V, создаваемое волной, имеет смысл только в точках расположения атомов и не имеет смысла в промежуточных точках. Поэтому, смещение r -го атома записывается

Если мы продифференцируем по времени 2 раза, то получим ускорение r-го атома: (3)

Тогда, исходя из 2-го закона Ньютона, мы можем записывать выражение для возвращающей силы (упругой силы):

Наша задача: мы должны найти закон дисперсии.

Дисперсия - разложение света по спектрам. Почему разлагается спектр?

Т. к. Белый свет не монохроматичный.

Для получения закона дисперсии, т.е. зависимости от к, надо выразить возвращающую силу через силовую постоянную, характеризующую смещение атомов в кристаллической решетки. В этих целях линейную цепочку атомов представим в виде связанных упругими пружинами:

В этой модели возникающая при растяжение и сжатие пружин возвращающая сила, действующая на атом линейно, зависит от расстояния до ближайших атомов. Действительно в большинстве твердых тел в случае малых деформаций выполняется закон Гука, тогда выражение для возвращающей силы будет иметь вид:

Сравнивая этот результат с выражением (4) получаем

Сюда подставим выражение (2)

Получили дисперсионное уравнение для продольных волн, распространяющихся вдоль линейной одноатомной цепочки, где учитывалось взаимодействие только с ближайшими соседями