2014-02-09
1134
Оптическая ветвь
Акустическая ветвь
Мы рассмотрели модель одномерного кристалла, но все эти утверждения и выводы справедливы для трехмерного кристалла.
Плотность состояний.
Про колебания атома в трехмерном пространстве смотри конец предыдущего.
Выше было сказано, что в упругой среде могут возбуждаться колебания любой частоты. Такое утверждение справедливо в бесконечной среде. В реальности этого нет. В упругой среде определенных размеров могут существовать определенные дискретные значения 
.
Как распределяется ?
Для того чтобы найти распределение колебательных состояний в кристалле представим себе одномерный одноатомный кристалл. Пусть он состоит из N+1 атомов, тогда длина цепочки L=Na. На L должно укладываться целое число полу волн:
, (n=1,2,...,N)
Для того чтобы говорить об этих состояниях мы должны ввести понятие плотности состояний. Мы должны знать, сколько помещается на единичном интервале волновых чисел и сколько укладывается состояний.
На бесконечно-малом интервале dk 
, где L – размер кристалла.
Положим, что L = 1, тогда 
, g(k) –плотность состояний.
Плотность состояний – число состояний, приходящееся на единицу длины и на единичный интервал волновых чисел. Иногда требуется плотность состояний g(k) представить как функцию g(
).
; 
.
Тогда 
44. Классическая теория теплоёмкости кристалла. Её недостатки. Закон Дюлонга-Пти.
В кристаллической решетке атомы совершают колебательные движения.
(1)
Частота очень велика =1012 Гц
(2)
Если допустить, что для твердого тела справедлива гипотеза о равномерном распределении энергии теплового движения по степень свободы 
,
то полная энергия колеблющегося атома находящегося в узле решетки
(3)
Полная энергия =3kБТ, то внутренняя энергия 1 моля вещества
(4)
(5)
Т.о. молярная теплоемкость Сμ всех химически чистых кристаллических тел одинаковы = 3R- закон Дюлонга и Пти (опытный закон).
При комнатной температуре Сμ =25Дж/К*моль
Для алмаза, В, Si большее отклонение.
Сμалмаза=25Дж/К*моль при t=1000°C
Исследования Сμ показывают, что существует зависимость от температуры
45.Эйнштейновская теория теплоёмкости. Вывод формулы для средней энергии осциллятора. Анализ теории.
Объяснения того, что теплоемкость при охлаждении должна сводиться к объяснению причин, в силу которых средняя энергия связана с колебательной модой, зависит от температуры и частоты.
Эйнштейн предложил очень простую модель, которая позволяет объяснить, почему теплоемкость решетки при низких температурах падает ниже 3R Согласно Эйнштейну тепловые свойства решетки из N колеблющихся атомов можно трактовать как свойство 3N независимых однополярных гармонических осцилляторов имеющих одну и ту же собственную частоту.
Эйнштейн проквантовал энергию осциллятора способом, предложенным ранее Планком. По классической теории осциллятор может иметь произвольную амплитуду колебаний соответственно любые значения энергий.
Е=nђω (n=1,2,3….) (6)
Ђ=1.054*10-34
Энергия каждого состояния определяется квантовым числом n.
Вывод формулы для средней энергии осциллятора
Тогда средняя энергия
(7)
(8)
(9) – средняя энергия осциллятора.
Анализ теории
Анализ уравнения (9)
1) при высоких температурах kБT >> ђω.
(10)
Таким образом, при высоких температурах из (9) следует закон Дюлонга-Пти:
U=3kTN =>
Cμ=3R.
2) при низких температурах
kБT << ђω.
>> 1
(11)
При температуре около 0 Cμ система из N атомов будет
=
является доминирующей =>
при низких температурах Cμ→ 0
Однако эксперимент для диэлектриков дает закон Т3
Т.о. модуль Эйнштейна хорошо описывает уменьшение Cμ при низких температурах при соответствующем подборе частоты осциллятора.
Для подбора частоты
(12)
Для большинства твердых тел
= (100…300)К
(13)
Т.о. теплоёмкость тела совпадает с экспериментальными данными в широком интервале температур. выбирается из принципа ω≈1011
