Зависимость энергии электрона от волнового вектора

Поскольку энергетический спектр электронов носит зонный характер, определим зависимость энергии электронов Е от импульса р внутри каждой зоны. Зависимость Е(р) называют дисперсионным соотношением.

Движение совершенно свободного электрона вдоль оси X описывается уравнением Шредингера

¶²Y/¶x² +(2m/ħ² )EY=0 (4.1)

где E=P²/2m (т.к. он обладает только кин. энергией) (4.2)

Формула (4.2) представляет собой дисперсионное соотношение для свободных электронов Е(р). Преобразуем его по формуле де Бройля:

P = h/l= ħ / (l/2p) = ħk, (4.3)

где l- длинна волны,

k=2 p/l - значение волнового вектора электрона. (4.4)

Волновой вектор k по направлению совпадает с направлением распространения электронной волны.

Подставим Р из (4.3) в (4.2):

E = ħ²k²/2m (4.5)

Из формул (4.5) и (4.2) видно, что для свободных электронов закон дисперсии имеет квадратичный характер и для одномерного движения выражается параболой (рис 4.4).

Рисунок 4.4

Решением уравнения Шредингера (4.1) является плоская бегущая волна

Y= (4.6)

Квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности обнаружения электрона в той или иной области пространства. Как видно из (4.6)

для свободного электрона эта вероятность не зависит от координат электрона, т.к. ½Y½²=Y×Y^* = A² (4.7)

Это означает, что для свободного электрона все точки пространства эквивалентны и вероятность нахождения его в любой из них одинакова (рис.4.5).

Рисунок 4.5

Однако для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, вероятность обнаружения его в данном месте кристалла должна быть периодической функцией, зависящей от координаты x. Периодичность функции кратна постоянной решетки а. Различными вероятностями будут обладать только положения электрона в пределах одного периода, т.е. амплитуда волновой функции электрона, движущегося в периодичном поле, не остается постоянной, а периодически меняется с периодом, равным периоду решетки а. Обозначим эту амплитуду U(x). Тогда волновая функция электрона, движущегося в периодическом поле кристалла в направлении x, будет:

(4.8)

где U(x+na)=U(x), n - любое целое число.

Ψ∙Ψ٭

Функция (4.8) называется функцией Блоха. Конкретный вид этой функции определяется видом потенциальной энергии U(x) (рис 4.6), входящей в уравнение Шредингера.

Волновая функция стационарного состояния электрона в периодическом поле кристалла, которая при трансляции на постоянную решетки а приобретает фазовый множитель и удовлетворяет условию периодичности, называется функцией Блоха.

.

Рисунок 4.6

Соответственно должно изменяться и дисперсионное соотношение для электронов движущихся в периодическом поле кристалла. Во-первых, энергетический спектр таких электронов приобретает зонный характер, во – вторых, внутри каждой зоны энергия электрона оказывается периодической функцией волнового вектора k. Для одномерного кристалла с параметром а энергия может быть выражена следующим соотношением:

E(k)=E_a+C+2Acos(ka) (4.9)

E_a – энергия атомного уровня, из которого образовалась зона;

С – сдвиг уровня под действием поля соседних атомов;

А – так называемый обменный интеграл, учитывающий появившуюся у электронов кристалла возможность перехода от атома к атому, вследствие перекрытия их волновых функций. Он тем больше, чем сильнее перекрываются волновые функции, т.е. с чем большей частотой могут обмениваться соседние атомы своими электронами.

Для s состояний A_s<0; для p состояний A_p>0.

Поэтому уравнение (4.9):

- для s зон E_s(k)=E`_s – 2A_scos(ka) (4.10)

- для p зон E_p(k)=E`_p – 2A_pcos(ka) (4.11)

где E`<sub>s</sub>=E<sub>as</sub>+C<sub>s</sub>; E`_p=E_ap+C_p;

A_s и A_p – абсолютные значения обменных интегралов для этих состояний.

На рис.4.7 изображены дисперсные кривые E(k) для s и p зон, построенные по уравнениям (4.10) и (4.11).

Рисунок 4.7

Области значений волнового вектора k, в пределах которых энергия Е(k) электрона, как периодическая функция, проходит полный цикл изменения, называют зонами Бриллюэна.

Для одномерного кристалла первая зона Бриллюэна располагается от k= +p/a до k= -p/a и имеет протяженность 2p/a. Вблизи экстремума дисперсионную кривой (при k=0, k= ±p/a) cos(ka) можно разложить в ряд по ka и ограничиться первыми двумя членами разложения. Подставляя это в уравнение (4.10) и (4.11) получим:

E_s(k)= E_{s min} +A_s(ka)² (4.12)

E_p(k)= E_{p max} +A_p(ka)² (4.13)

Минимум дисперсной кривой Е(k) называют дном энергетической зоны, а максимум - вершиной. Поэтому полученные соотношения можно переписать следующим образом:

E_дно(k)= E_min + A_д(ka)² (4.14)

E_верх(k)= E_max - A_в(ka)² (4.15)

Таким образом, у дна и вершины энергетической зоны энергия электрона пропорциональна квадрату волнового вектора и обменному интегралу, определяющему ширину зоны. На рисунке 4.7 параболы, соответствующие уравнениям (4.14) и (4.15), показаны пунктирными линиями. Для реальных кристаллов зависимость Е(k) является более сложной.