Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной порядка . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой окрестности, т.е. дифференцируема в каждой точке . Тогда в окрестности определена новая функция , которая, называется производной функции на множестве . Если функция имеет в точке производную, то ее называют второй производной функции в этой точке и обозначают одним из символов

при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом.

Вместе с тем, если функция дифференцируема в точке , то говорят, что функция дважды дифференцируема в этой точке.

Аналогично понятию второй производной функции в точке вводится понятие третьей производной (ее обозначают также или ) и, вообще производной любого порядка . Точнее, общее определение производной порядка вводится индуктивно. А именно, если функция имеет в каждой точке конечную производную , то производная функции в точке называется производной -го порядка функции в точке и обозначают одним из символов

Таким образом,

Наконец, мы будем говорить, что функция раз дифференцируема в точке , если в некоторой окрестности этой точки она имеет конечную производную порядка (а стало быть имеет и все производные , ,…, ) и функция дифференцируема в точке .

В соответствии с данным выше определением производную функции в точке называют также первой производной функции в этой точке или, также, производной первого порядка этой функции в точке . В дальнейшем условимся считать, что

Непосредственно из определения производной -го порядка вытекают следующие ее свойства:

()

где и – раз дифференцируемые в точке функции.

Отметим без доказательства, что если функции и – раз дифференцируемы в точке , то имеет место следующая формула (формула Лейбница):

Механический смысл второй производной. Если кинематический закон движения материальной точки вдоль некоторой кривой, т.е. если – путь, пройденный ей вдоль этой кривой к моменту времени из некоторой начальной точки, то, как известно, первая производная , если она существует, представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени .

Вместе с тем отношение

называют средним ускорением точки за отрезок времени , а предел (если он существует)

называют ускорением точки в момент времени .

Таким образом вторая производная – ускорение точки в момент времени .

Понятие дифференциала порядка . Пусть функция раз дифференцируема в точке (в соответствии с данным выше определением это означает, напомним, что в некоторой окрестности этой точки она имеет конечные производные до порядка включительно, а в самой точке имеет и конечную производную порядка ). Тогда степенная функция переменной называется дифференциалом функции в точке порядка и обозначается или (короче также пишут или ).

Таким образом, для дифференциала порядка функции в точке имеем формулу

(1)

При этом понятия дифференциала и первого дифференциала (дифференциала порядка 1) совпадают друг с другом.

На практике вычисление дифференциалов высших порядков можно проводить по правилам, которые описываются. Предварительно условимся под арифметическим выражением понимать выражение, полученное из конечного набора функций переменной в результате следующих действий: сложения, умножения и вычисления дифференциала. Тогда вычисление дифференциалов высших порядков можно производить последовательно используя следующую формулу (при , и т.д.)