2014-02-09
2853
nо 1. Таблица производных
Элементарные функции (за исключением функций 
и 
) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
Определим так называемые гиперболические функции:
- гиперболический синус;
- гиперболический косинус;
- гиперболический тангенс;
- гиперболический котангенс.
Для гиперболических функций справедливы следующие формулы:
. 
. 
. 
. 
nо 2. Показательная и логарифмическая функции.
Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, вычислим некоторые пределы.
Покажем, что
 | (1) |
Как было установлено ранее
.
Поэтому, доопределив функцию f(x) = 
в точке 
равенством 
можно считать, что она непрерывна в этой точке. Учитывая это, а также то, что функция 
непрерывна в точке 
, по теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций будем иметь
.
Следовательно, равенство (1) действительно имеет место.
Покажем теперь, что
 | (2) |
Доопределим функцию 
в точке 
равенством 
. В силу равенства (1) можно считать, что она непрерывна в этой точке. Положим 
. Эта функция непрерывна на всей вещественной оси и, в частности, непрерывна в точке 
, при этом 
. Тогда по теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций сложная функция 
непрерывна в точке 
. Поэтому будем иметь
.
Таким образом равенство (2) доказано.
Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим:
=
Таким образом установлена формула 
.
Далее, так как функция 
является обратной к функции 
, по формуле для производной обратной функции имеем:
=
.
Следовательно, установлена и формула .
Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции.
где 
и 
– дифференцируемые на некотором промежутке 
функции, причем 
на .
Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь
Таким образом,
.
В частности, если здесь 
, а 
, то
,
т.е. установлена и формула . Формула вытекает из нее в силу формулы дифференцирования обратной функции:
(здесь 
, 
).
nо 3. Производная степенной функции.
Производную от степенной функции 
(
) можно вычислить с помощью формулы дифференцирования сложной функции, предварительно представив функцию в виде 
:
Формула , таким образом, также доказана.
nо 4. Тригонометрические функции.
Используя формулу
,
а также известный замечательный предел
,
по определению производной с учетом непрерывности функции 
будем иметь
Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим
Производные от функции 
и 
вычисляются с использованием установленных выше формул и и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.
nо 5. Обратные тригонометрические функции.
Формулы 
выводятся с помощью формулы для производной обратной функции и одной из соответствующих 
.
Например, функция
Является обратной к функции 
, (
). Поэтому
Перед радикалом здесь берется знак «+», поскольку 
при .
Аналогично вычисляется производная от функции 
Далее, функция 
является обратной к функции 
. Поэтому
Аналогично вычисляется производная от функции 
