Дифференцирование элементарных функций

n^о1. Таблица производных

Элементарные функции (за исключением функций и ) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):

Определим так называемые гиперболические функции:

- гиперболический синус;

- гиперболический косинус;

- гиперболический тангенс;

- гиперболический котангенс.

Для гиперболических функций справедливы следующие формулы:

n^о2. Показательная и логарифмическая функции.

Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, вычислим некоторые пределы.

Покажем, что

(1)

Как было установлено ранее

Поэтому, доопределив функцию f(x) = в точке равенством можно считать, что она непрерывна в этой точке. Учитывая это, а также то, что функция непрерывна в точке , по теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций будем иметь

Следовательно, равенство (1) действительно имеет место.

Покажем теперь, что

(2)

Доопределим функцию в точке равенством . В силу равенства (1) можно считать, что она непрерывна в этой точке. Положим . Эта функция непрерывна на всей вещественной оси и, в частности, непрерывна в точке , при этом . Тогда по теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций сложная функция непрерывна в точке . Поэтому будем иметь

Таким образом равенство (2) доказано.

Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим:

Таким образом установлена формула .

Далее, так как функция является обратной к функции , по формуле для производной обратной функции имеем:

Следовательно, установлена и формула .

Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции.

где и – дифференцируемые на некотором промежутке функции, причем на .

Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь

Таким образом,

В частности, если здесь , а , то

т.е. установлена и формула . Формула вытекает из нее в силу формулы дифференцирования обратной функции:

(здесь , ).

n^о3. Производная степенной функции.

Производную от степенной функции () можно вычислить с помощью формулы дифференцирования сложной функции, предварительно представив функцию в виде :

Формула , таким образом, также доказана.

n^о4. Тригонометрические функции.

Используя формулу

а также известный замечательный предел

по определению производной с учетом непрерывности функции будем иметь

Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим

Производные от функции и вычисляются с использованием установленных выше формул и и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.