Локальный экстремум функции. Теорема Ферма

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и .Говорят, что в точке функция имеет локальный минимум (локальный максимум) , если существует такая окрестность этой точки, что

	(1)
(),

при этом точку называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.

Замечание 1. Если внутренняя точка множества , т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо «» можно писать «».

Замечание 2. Если в точке функция имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что в ней она имеет локальный экстремум,при этом её саму называют точкой локального экстремума.

Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на множестве , т.е. всякая точка , для которой

(),

иногда называется точкой глобального минимума (глобального максимума) функции на множестве .

Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума.

Теорема 1(Ферма). Пусть функция определена на множестве , , при этом - внутренняя точка множества и функция дифференцируема в этой точке.Тогда, если – точка локального экстремума этой функции, то

.

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что ─ точка локального минимума.Тогда такое, что ( ─ внутренняя точка ) и

.

Поэтому

	(3)
.	(4)

Из неравенства (3), в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что

(5)

а из неравенства (4), в силу того же, в свою очередь, следует, что

(6)

из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □