2014-02-09
530
Прямая линия на плоскости
Будем рассматривать прямую в некоторой аффинной системе координат.
7.1.1.Каноническое уравнение прямой
Опр. Ненулевой вектор, параллельный прямой,
называется направляющим вектором прямой.
Зададим прямую на плоскости точкой 
и направляющим вектором 
Возьмем на прямой 
произвольную точку 
Это каноническое уравнение прямой.
7.1.2.Параметрические уравнения
Параметрическиеуравнения.
7.1.3. Уравнение прямой через две точки.
7.1.4. Уравнение прямой в отрезках
Точки пересечения прямой с осями координат
Какую прямую нельзя задать уравнением в отрезках?
7.1.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Опр. Назовем отношение 
- угловым коэффициентом прямой
Можно доказать, что угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора прямой и в дпск он равен тангенсу угла наклона прямой к оси 
7.1.6. Общее уравнение прямой
Преобразуем каноническое уравнение прямой:
Ax+By+C=0. (11)
Итак, всякая прямая на плоскости определяется уравнением 1 степени относительно переменных 
Направляющий вектор 
Обратно: всякое уравнение (11), где 
определяет на плоскости прямую, параллельную вектору
Следовательно, справедлива
Теорема 9. Всякое уравнение 1 степени с двумя переменными 
определяет на плоскости прямую и только прямую.
Иначе: всякая алгебраическая линия 1 порядка есть прямая линия.
7.1.7. Неполные уравнения прямой. Построение прямой.
Уравнение прямой 
все коэффициенты которого отличны от 0, называется полным. Если же какие-то коэффициенты в нем равны 0, имеем неполное уравнение. Для построения прямой по уравнению достаточно знать две её точки или точку и направляющий вектор
1) Пусть 
Имеем полное уравнение 
Приведем его к уравнению в отрезках:
Пример. 
2) 
прямая проходит через начало координат.
Пример. 
3) 
Пример. 
4) 
5) 
6) 
Задача. Найдите направляющие векторы и постройте в аффинной системе координат прямые: 
7 .2. Геометрический смысл знака трехчлена 
Прямая 
делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек, принадлежащих прямой, обращают уравнение в тождество. Можно доказать, что для координат точек из одной полуплоскости (той, куда направлен вектор 
) выполняется неравенство 
для координат точек другой полуплоскости 
В этом состоит геометрический смысл знака трехчлена
Задача. Пересекает ли прямая 
отрезок с концами 
