Запас устойчивости

При практических исследованиях систем автоматического управления необходимо помнить, что, как правило, динамические характеристики регулируемого объекта или системы находятся с определенной погрешностью и, кроме того, они меняются с течением времени и с изменением нагрузки. Это вызывает необходимость введения более жестких ограничений на устойчивость системы управления, которые сводятся к тому, чтобы система была не просто устойчивой, но и обладала определенным запасом устойчивости. При этом запас устойчивости может определяться:

1) Расположением корней характеристического уравнения системы в комплексной плоскости;

2) Расположением комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы относительно «опасной» точки с координатами -1,i0.

Расположение корней характеристического уравнения системы в комплексной плоскости при заданном запасе устойчивости определяется величиной степени устойчивости системы - h или величиной степени колебательности системы -т (запас устойчивости по «h» или «т»).

Система обладает необходимым запасом устойчивости, если все корни ее характеристического уравнения располагаются левее прямой, проведенной в левой полуплоскости параллельно мнимой оси на расстоянии h от нее (рис. 1 – 60).

В практических расчетах при исследовании систем управления чаще запас устойчивости системы определяется величиной ее степени колебательности – т. Это приводит к требованию, чтобы корни характеристического уравнения системы располагались внутри области в левой полуплоскости, ограниченной лучами ОА и ОВ, тангенс угла которых к мнимой оси определяется выражением (рис. 1 – 61). Обычно при расчетах величину «т» принимают равной 0,366, что соответствует y=0,9.

В этом случае, если динамические свойства системы (объекта) характеризуются экспериментально полученными частотными характеристиками, то запас устойчивости системы удобно непосредственно оценивать по степени удаления комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы относительно точки -1,i0, определяемой величиной комплексно-частотной характеристики замкнутой системы – М (запас устойчивости по «М»).

Допустим, имеется комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы – W_ос(iw) (рис. 1 – 62а), тогда комплексно-частотная характеристика замкнутой системы (рис. 1 – 62б) определяется через модуль комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы по отношению:

. (1-89)

Из рис. 1 – 62 видно, что с увеличением максимума амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы М, комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы приближается к «опасной» точке -1,i0 и, следовательно, запас устойчивости системы уменьшается. На основании этого можно сформулировать требования, которым должно удовлетворять расположение комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы относительно «опасной» точки -1,i0, чтобы максимум амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы имел заданную величину М=Ф(iw)=const. Это требование сводится к тому, чтобы комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы не заходила внутрь области ограниченной окружности радиусом и с центром, расположенным на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии от начала координат (рис. 1 – 63).

Обычно считается, что система управления имеет заданный запас устойчивости, если ее показатель колебательности – «М» не превышает величины 1,2+1,6, что соответствует степени затухания Ф»0,95-0,9.