Оптимальный план производства в условиях монополии и монопсонии

Аналитическое решение

Решение задачи коммерческой организации может быть получено методом множителей Лагранжа:

.

Необходимые условия экстремума определяются приравниванием нулю всех частных производных функции Лагранжа:

Первое условие показывает, что при оптимальных значениях множитель Лагранжа равен предельному доходу:

.

Вторая группа условий показывает, что произведение предельного дохода и предельного продукта каждого фактора равно предельным издержкам этого фактора:

(3.16)

В последнем условии представлена просто производственная функция:

. (3.17)

Условия (3.16),(3.17) являются исходными уравнениями определения объема выпуска и комбинации затрат ресурсов, максимизирующих прибыль. Кроме того, следует учитывать, что ранее полученное условие равенства предельного дохода предельным издержкам сохраняет силу и при монополии – монопсонии:

,

. (3.18)

Используем выражение (3.18) для получения формулы оптимального объема производства в рамках монополии (ситуация монопсонии не учитывается, то есть предельные издержки зависят только от объема выпуска по формуле (2.9)). Рассмотрим два частных случая:

а) отрицательный эффект расширения масштаба при r =0,5; подставим в (3.18) выражение предельного дохода (3.15) и предельных издержек (2.9):

(3.19)

б) отсутствие эффекта расширения масштаба при r =1; аналогично предыдущему случаю:

(3.20)

Функции спроса на ресурсы можно получить из условий (3.16), (3.17). выражения предельных продуктов MQ_i получены в примере 1.3.3:

MQ₁ =aQ/х₁, MQ₂ =bQ/х₂;

выражения предельных издержек получим, продифференцировав С=p₁x₁+p₂x₂:

MC₁=p₁, MC₂=p₂.

Подставим эти выражения в (3.16)

(р₀+2 Q*)aQ*/х₁^* = p₁, (р₀+2 Q*)bQ*/х₂^*= p₂..

Откуда можно выразить

, . (3.21)

Таким образом, определив оптимальный объем производства по формулам (3.19), (3.20), следует затем рассчитать спрос на ресурсы по формулам (3.21).

Геометрическая интерпретация

На рис. 3.8 изображены кривые валового дохода R, совокупных издержек С, прибыли П, а также зависимостей предельных и средних значений издержек и дохода. Отличие от вида соответствующих кривых в случае совершенной конкуренции состоит в том, что кривая дохода R имеет уменьшающийся темп роста при увеличении объема производства, и, соответственно, кривая предельного дохода MR является убывающей. Таким образом интерпретируется ситуация монополии. Ситуация монопсонии не приводит к характерным геометрическим отличиям, поскольку вид кривой предельных издержек в общем случае непосредственно не зависит от объема выпуска.

Поскольку при совершенной конкуренции оптимальное значение прибыли достигается при неизменной цене продукции , даже при минимальном объеме выпуска, то в условиях монополии оптимальная величина прибыли всегда не превышает суммы прибыли при совершенной конкуренции:

Максимум прибыли в условиях монополии достигается при объеме выпуска, не превышающем оптимальный выпуск в условиях совершенной конкуренции, то есть

.

Пример 3.7.1. Если мукомольный завод (пример 3.3.1), приобретающий зерно по цене 200 руб. за тонну и энергию по цене 300 руб. за килоВтчас, является монополистом, то цена его продукции снижается с ростом продаж р₀=10000-2Q (руб. за тонну). Определить оптимальный объем выпуска а) при убывающей отдаче от расширения масштаба (r=0,5), ; б) при отсутствии эффекта расширения масштаба (r=1) .

а) рассчитаем параметр D (см. пример 3.3.1)

тыс. руб.;

оптимальный объем продукции равен (3.19): тонн;

б) параметр D для данного случая: тыс. руб.; оптимальный объем продукции (3.20): тонн.

Рис. 3.8. Оптимальный выпуск в условиях монополии