Аналитическое решение |
Решение задачи коммерческой организации может быть получено методом множителей Лагранжа:
.
Необходимые условия экстремума определяются приравниванием нулю всех частных производных функции Лагранжа:
Первое условие показывает, что при оптимальных значениях множитель Лагранжа равен предельному доходу:
.
Вторая группа условий показывает, что произведение предельного дохода и предельного продукта каждого фактора равно предельным издержкам этого фактора:
(3.16)
В последнем условии представлена просто производственная функция:
. (3.17)
Условия (3.16),(3.17) являются исходными уравнениями определения объема выпуска и комбинации затрат ресурсов, максимизирующих прибыль. Кроме того, следует учитывать, что ранее полученное условие равенства предельного дохода предельным издержкам сохраняет силу и при монополии – монопсонии:
,
. (3.18)
Используем выражение (3.18) для получения формулы оптимального объема производства в рамках монополии (ситуация монопсонии не учитывается, то есть предельные издержки зависят только от объема выпуска по формуле (2.9)). Рассмотрим два частных случая:
а) отрицательный эффект расширения масштаба при r =0,5; подставим в (3.18) выражение предельного дохода (3.15) и предельных издержек (2.9):
(3.19)
б) отсутствие эффекта расширения масштаба при r =1; аналогично предыдущему случаю:
(3.20)
Функции спроса на ресурсы можно получить из условий (3.16), (3.17). выражения предельных продуктов MQi получены в примере 1.3.3:
MQ1 =aQ/х1, MQ2 =bQ/х2;
выражения предельных издержек получим, продифференцировав С=p1x1+p2x2:
MC1=p1, MC2=p2.
Подставим эти выражения в (3.16)
(р0+2 Q*)aQ*/х1* = p1, (р0+2 Q*)bQ*/х2*= p2..
Откуда можно выразить
, . (3.21)
Таким образом, определив оптимальный объем производства по формулам (3.19), (3.20), следует затем рассчитать спрос на ресурсы по формулам (3.21).
Геометрическая интерпретация |
На рис. 3.8 изображены кривые валового дохода R, совокупных издержек С, прибыли П, а также зависимостей предельных и средних значений издержек и дохода. Отличие от вида соответствующих кривых в случае совершенной конкуренции состоит в том, что кривая дохода R имеет уменьшающийся темп роста при увеличении объема производства, и, соответственно, кривая предельного дохода MR является убывающей. Таким образом интерпретируется ситуация монополии. Ситуация монопсонии не приводит к характерным геометрическим отличиям, поскольку вид кривой предельных издержек в общем случае непосредственно не зависит от объема выпуска.
Поскольку при совершенной конкуренции оптимальное значение прибыли достигается при неизменной цене продукции , даже при минимальном объеме выпуска, то в условиях монополии оптимальная величина прибыли всегда не превышает суммы прибыли при совершенной конкуренции:
Максимум прибыли в условиях монополии достигается при объеме выпуска, не превышающем оптимальный выпуск в условиях совершенной конкуренции, то есть
.
Пример 3.7.1. Если мукомольный завод (пример 3.3.1), приобретающий зерно по цене 200 руб. за тонну и энергию по цене 300 руб. за килоВтчас, является монополистом, то цена его продукции снижается с ростом продаж р0=10000-2Q (руб. за тонну). Определить оптимальный объем выпуска а) при убывающей отдаче от расширения масштаба (r=0,5), ; б) при отсутствии эффекта расширения масштаба (r=1) .
а) рассчитаем параметр D (см. пример 3.3.1)
тыс. руб.;
оптимальный объем продукции равен (3.19): тонн;
б) параметр D для данного случая: тыс. руб.; оптимальный объем продукции (3.20): тонн.
Рис. 3.8. Оптимальный выпуск в условиях монополии