Тень куба

ТЕНИ МНОГОГРАННИКОВ

Три правила построения теней

Следует соблюдатьтри правила построения теней, чтобы строить тени точнее и с наименьшим количеством вспомогательных элементов.

1)Правило соотношения видимых силуэтов. Три криволинейных контура имеют всегда общий касательный луч, а именно (рис. 5): а) видимый силуэт поверхности, б) контур соб­ственной тени S_B и в) контур падающей тени sb. Однако это касание является кажущимся (на проекциях), а в пространстве его нет.

2) Правило точек исчезновения. В точках исчезновения F₁ и F₂ (рис. 5) луч света касается к контуру падающей тени не только на проекциях, но и в действительности. В самом деле, луч, проведенный через точку исчезновения, принадлежит цилиндру, обер­тывающему тело А, и лежит в плоскости, касательной к этому цилиндру, но вместе с тем он лежит и в плоскости, касательной к поверхности тела В, на которое падает тень от А, так как точка исчезновения лежит на контуре S_B собственной тени тела В.

Значит, рассматриваемый луч есть пересечение этих касательных плоскостей и поэтому касается к очертанию падающей тени. Исключение соста­вляет лишь случай, когда точки исчезновения F₁ и F₂ сольются в одну точку.

3)Правило сопряжения теней на пересекающихся поверхностях (рис. 7). Когда две поверхности Р₁ и Р₂ взаимно пересекаются по кривой АВ, то падающая тень K₁F₁ от Р₁ на Р₂ касается Р₁ в точке К_1, где собственная тень Р₁ встречает кривую сечения АВ; она точно так же касается и линии пересечения АВ.

Тень K₂F₂ от Р₂ на Р₃ также касается линии CD пересечения поверхно­стей Р₂ и Р₃. На рис. 7 можно видеть и иллюстрации к правилам 1 и 2. Так, точки исчезновения F₁ и F₂ являются точками касания лучей к очер­таниям падающих теней (правило 2) и три кривые имеют общий касательный луч, а именно: видимый силуэт шара, граница собствен­ной тени шара и контур падающей тени его (правило 1).

Тень кубас вписанными в его грани кругами, падающая на плоскость V, представлена на рис. 8. Тень на V от каждой из восьми вершин найдена, как след на V луча света; при этом луч направлен по диагонали куба в соответствии с правилами, изложен­ными ранее.

Произведем детальный анализ тени. Как видно, внешний контур тени представляет собой шестиугольник. Если куб представить про­волочным, то тень в целом будет параллельной проекцией куба на плоскости V, именно — косоугольной фронтальной аксонометрией куба. Тени передней и задней фронтальных граней получились в форме квадратов без искажения, поскольку эти грани параллельны плоскости V; круги, вписанные в эти квадраты, по этой причине дали тени в форме кругов того же диаметра. Тени от верхней и нижней горизонтальных граней получились в виде параллелограмов с вер­тикальной диагональю, равной стороне квадрата.

При этом каждый из них, например параллелограм fo go ho lo, можно построить, исходя из одной вертикальной проекции квадрата, зная лишь ординату (вынос) Y₁ центра квадрата 1. Действительно, треугольник 1kl на плане равен треугольнику 1'm1o на фасаде (поскольку проекции луча идут под углом 45° к Ох ); поэтому можно из точки 1' фасада отложить по горизонтали вправо отрезок Y1, равный ординате точки 1, а затем от точки отложения т по вертикали вниз отложить еще раз тот же отрезок Y1 до точки 1₀, которая и будет тенью от центра верхнего квадрата. От точки 1₀ по вертикали вверх и вниз следует отложить по половине стороны квадрата до точек g₀ и l₀, а из последних про­вести горизонтали до встречи в точках f₀ и h₀ с проекциями лучей, проведенными из концов проекции квадрата. Тень круга, вписанного в этот квадрат, получается в виде эллипса, вписанного в параллелограм. Построить этот эллипс можно по восьми точкам, из которых че­тыре являются точками касания эллипса к серединам сторон параллелограма, а четыре лежат на диагоналях параллелограма и делят полу­диагонали в отношении 0,707 (рис. 9).

Рис. 8

Эти точки найдены путем засечек продольной оси параллелограма окружностью, построенной на вертикальной диагонали, как на диаметре, и последуюшего пере­носа засеченных точек р₀ и qо по горизонталям на диагонали.

Рис. 9

Тени от левой и правой боковых граней куба получились в виде паралле-лограмов с горизонтальной диагональю, равной стороне квадрата, а тени вписанных кругов получились в форме эллипсов, вписанных в эти параллелограмм.

Каждый из этих параллелограммов, например параллелограм b_of_ol_Qa_o, являющийся тенью от левой профильной грани куба, можно построить, исходя из одной вертикальной проекции квадрата, если известна ордината Y_II (вынос) центра этого квадрата. Именно, как видно, точку 2₀ можно найти, отойдя сначала по верти­кали от точки 2' вниз до точки п, а затем от п по горизонтали до точки 2₀; при этом как по вертикали, так и по горизонтали нужно отложить ординату Y_II. Найдя точку 2₀, следует от нее по горизонтали налево и направо отложить по половине стороны квадрата до точек b_о и l₀ и из последних провести вертикали до встречи в точ­ках f₀ и а₀ с вертикальными проекциями лучей, идущими из концов проекции квадрата. Эллипс вписывается по восьми точкам, анало­гично предыдущему.

Нетрудно заметить, что весь контур тени куба можно построить, если построена тень 1₀ центра верхней грани или тень 2₀ центра боковой грани куба. Тот же контур можно получить, если построить, например, тень передней или задней грани куба в форме квадрата; потому что, как видно по рис. 9, у квадратов (теней передней и задней граней куба) имеется общая вершина.

Следует, однако, отметить, что все вышеприведенные выводы о формах теней отдельных граней куба справедливы лишь при на­правлении лучей света по диагонали куба, т.е. при проекциях лучей, идущих под углом 45° к Ох. Но, как указывалось выше, на ортого­нальных чертежах сооружений условились тени строить именно при таком направлении лучей света; поэтому приведенные выводы сле­дует запомнить, так как это позволит при построении теней в фасаде на проектах зданий и на детальных чертежах пользоваться лишь одним фасадом и, таким образом, строить тени кратчайшим путем.