Три метода построения теней

Независимо от того, параллельны лучи света или выходят из одной точки, можно указать следующие три метода построения теней.

1) Метод секущих плоскостей является общепринятым и состоит в том, что оба тела А и В (рис.4) рассекаются плоскостями, параллельными лучу света (при солнечном освещении) или проходящими через светящуюся точку.

Предположим, что плоскость L_lt параллельная направлению светового луча Р, рассекает тело А по кривой L'_a, а тело В — по кривой L'_b. Тогда, проводя лучи, касательные в точках К1 — К1 к кривой сечения L'_a, и пересекая их в точках 1 — 1 с линией сечения L'_b, получаем две точки контура S_A собственной тени тела А (точки К1 — К1 ) и две точки контура

S_ab тени, падающей от А на В (точки 1 — 1).

Проводя новую лучевую плоскость L2, мы получаем подобным же образом точки К2 — К2 на контуре тела А и точки 2 — 2 на контуре тени, падающей на В от А*. (*Сечение тела А плоскостью L2 на рис.4 показано совпадающим с очерком чела А).

Рис. 4

Рис. 5

Очевидно, что чем больше плоскостей типа L мы проведем, тем большее количество точек типа К — К и 1 — 1 мы получим и тем точнее отыщем контуры теней — собственной и падающей. Точки F₁ и F₂ на контуре падающей тени называются точками исчезновения тени, падающей от А, в собственной тени тела В.

Эти точки можно отыскать вторым методом, описываемым ниже.

Что же касается контура собственной тени на В, именно линии S_B, то она определяется по точкам К°₁,К°₂, К°₃ и т. д., которые, как видно, являются точками касания лучей к линиям L¹_b, L²_b и т. д., сечения тела В теми же плоскостями L1, L2 и т. д. Крайние точки К₂ — К₂ на контуре собственной тени тела А и K°₃ — K°₃ на контуре собственной тени тела В находятся как точки касания к очеркам тел лучей света.

2) Метод обратных лучей заключается в том, что для отыскания контуров собственных теней тел А и В иконтура тени, падающей от А на В, пользуются тенями, падающими от А и В на какую-либо плоскость. Чаще всего тени на какую-либо плоскость от обоих тел приходится строить по заданию, но метод этот в ряде случаев выгоден даже и в том случае, если тени, падающие на плоскость, приходится строить как вспомогательные. В таком случае эту плоскость (экран) стремятся подобрать так, чтобы контуры падающих на нее теней строились легко.

Сущность метода можно усмотреть из рис. 5. Сначала строят контуры s_a и s_b теней, падающих от тел А и В, например, на плоскость Н. Подробности построения показаны для контура s_b. Поступают так: 1) от ряда характерных образующих О₁, О₂, О₃,... тела В строят падающие на Н тени о1, о₂, о₃,...; 2) эти тени заключают в общую огибающую (обертывающую) их кривую s_b, которая и будет контуром тени, падающей от В на Н; 3) из точек k₁ — k_1, k₂ — k₂, k₃ — k₃, …соприкосновения огибающей с кривыми о1, о₂, о₃,... проводят обратные лучи до пересечения в точках К1 — К1, К2 – К2, К3 – К3,… с образующими О1, О₂, О₃ на теле В; если точки типа К соединить в последовательном порядке, то и получится контур S_B собственной тени тела В. Этот контур, равно как и контур s_b на Н, должны касаться в точках Т — Т и t — t крайних лучей касательных к очерку тела В.

Подобным же образом строится контур s_a тени, падающей на Н от тела А, и контур S_A собственной тени тела А.

После этого уже приступают к построению контура тени, падающей от тела А на тело В. Для этого прежде всего отмечают точки f1 и f ₂ пересечения на H контуров s_a и s_b теней тел А и В и эти точки переносят обратными лучами на контур S_B собственной тени тела В. Это будут точки исчезновения на теле В тени тела А в собственной тени тела В (см. также точки F₁ и F₂ на рис. 4).

Нетрудно видеть, что обратные лучи f₁F₁ и f₂F₂ представляют не что иное, как образующие, по которым пересекаются лучевой цилиндр, обертывающий тело В, с лучевым цилиндром, обертывающим тело А, так как s_b и s_a являются базами этих цилиндров на плоскости Н (следы или основания их на Н ). Затем отмечают точки типа р пересечения контура s_a с тенями отдельных образующих тела В и переносят их обратными лучами на соответствующие образующие тела В (см., например, точки Р ).

Очевидно, обратный луч Рр есть не что иное, как образующая, по которой лучевой цилиндр, обертывающий тело А, пересекается с лучевым цилиндром, построенным на образующей О₂ тела В.

Наконец, отмечают точки пересечения на Н линий, являющихся тенями от образующих тела А, с линиями теней от образующих тела В (на рис.5 не показано) и переносят точки пересечения обратными лучами также на соответствующие образующие тела В. Полученные на теле В точки (концы обратных лучей) соединяют в последовательном порядке и получают искомый контур тени, падающей от тела А на тело В.

Очевидно, что если бы контур тени тела А на плоскости Н лежал вне контура тени тела В, то тень от тела А вовсе не падала бы на тело В.

При первом методе это обнаружилось бы в том, что лучи,

касательные кривой сечения L'_a на теле А в плоскости L₁ (рис.5) не пересекали бы линии L'_b сечения той же плоскостью L₁ тела В.

Итак, если падающие на один и тот же экран тени тел А и В взаимно пересекаются, то от одного тела на другое будет падать тень, а если эти тени не пересекаются, то теней, падающих от одного тела на другое, не будет.

Рис. 6

3) Метод описанных поверхностей применяется при построении контуров собственных теней тел вращения с криволинейной образующей (рис.6). Сущность этого метода сводится к тому, что вокруг данной поверхности описывают конусы и цилиндры, касающиеся ее по окружностям. Построив на описанных конусах и цилиндрах контуры собственной тени, находят точки К_1, К_2,, К₃, К₄ пересечения этих контуров с окружностями касания. В то время как цилиндр, соприкасающийся с поверхностью по экватору, будет единственным описанным цилиндром, описанных конусов надо взять несколько (часть их будет иметь вершины вверху, часть же — внизу), с тем чтобы точек типа К было достаточно для нанесения всего контура собственной тени путем соединения их плавной кривой.

После этого строят контур падающей тени путем построения падающих теней от точек типа К. На рис. 6 показано построение теней M_K, и

М_К, падающих на Н от точек К₁ и К₂, путем пересечения с Н лучей света, проведенных через точки К1 и К2.

На практике при построении теней в сложных комбинациях приходится пользоваться не одним каким-либо из описанных трех методов, а сочетанием их.

Рис. 7