Тени точки, прямой линии и плоской фигуры

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ И ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ

Распространяясь прямолинейно во все стороны от источника света, и встречая на своем пути точки поверхности какого-нибудь тела, световые лучи освещают их. Те части поверхности тела, на которые не попадают лучи света, будучи задержаны освещенными частями этого или какого-нибудь другого тела, находятся в тени. Тень, получающаяся на предмете от других частей этого же предмета, называется собственной тенью; тень, образующаяся на предмете от других предметов, называется падающей тенью.

Нанесение на изображение какого-нибудь предмета собственных и падающих теней создает впечатление рельефности и большей наглядности.

Но мы в дальнейшем не будем касаться физической стороны светотени (рассеяние лучей света в воздухе, изменение контраста светотени в зависимости от расстояния и наклона лучей света к освещенной поверхности, полутени, рефлексы и т.п.), а будем изучать, и строить лишь геометрические контуры собственных и падающих теней. При построении теней отдельных архитектурных деталей и элементарных тел падающие тени будем изображать более густой штриховкой, чем собственные тени. При построении же теней сложных архитектурных фрагментов и отдельных сооружений указанного разделения падающих, и собственных теней делать не будем.

О направлении лучей света и о тенях точки, прямой линии и плоской фигуры рассмотрим далее.

Задачи на определение следов прямой линии и плоскости имеют применение в прикладной части курса начертательной геометрии,

именно в разделе построения падающих теней.

Материальная точка, находящаяся перед плоскостью проекций, задерживает один луч света, а прямая — бесчисленное количество лучей, представляющих параллельные прямые линии и образующих, следовательно, в совокупности лучевую плоскость. Поэтому тень, падающая от точки на плоскость проекций, будет точкой представляющей, собой след луча света, мысленно продолженного за эту точку. Тень же, падающая от материальной линии на плоскость проекций, есть, следовательно, след лучевой плоскости, проходящей через эту линию. При этом видимыми считаются те точки и линии, которые лежат в пределах первого октанта. Точки пересечения лучей с этими полами и будут тенями от данных точек.

Построение теней точек, прямой линии и пластинки можно проследить на рис. 1, а в косоугольно-изометрической проекции и на рис. 1, б на эпюре.

Здесь показаны тени от наклонного шеста СD и от треугольной пластинки ABS, падающие на плоскости H и V, и тень, падающая от шеста на пластинку. (Как шест, так и пластинка считаются не имеющими толщины).

Предполагается, что направление лучей света параллельно диагонали куба, прислоненного гранями к координатным плоскостям, причем диагональ эта идет от верхней передней левой вершины куба к задней правой нижней вершине его. Такой куб показан на рис. 1, а вверху слева. Поскольку аксонометрическая модель сама представляет 3 грани куба (3 равных квадрата), диагональ Lx большого куба параллельна диагонали EF малого куба. Поэтому для определения направления луча света в пространстве в косоугольно-изометрической проекции нет необходимости строить особый куб, как показано на фигуре сверху слева, стоит только соединить точку L с точкой х.

Рис. 1

Проекциями диагонали Lx куба на координатных плоскостях будут, очевидно, диагонали квадратов, являющихся гранями куба. Выходит, что на эпюре проекции лучей света пойдут под углом 45° к оси Ох. Такое направление лучей света принято условно при построении теней на ортогональных практических чертежах, потому что при этом, как увидим в отделе о практическом построении теней, получаются значительные упрощения в построениях. Кроме того, такое направление лучей света соответствует примерно полуденному стоянию солнца на широтах Москвы и Санкт - Петербурга летом, когда тени в натуре получаются наиболее резкими. Тени отдельных элементов будем строить независимо друг от друга.

Тень от прямой линии CD на плоскость Н будет прямая линия, определяемая, стало быть, двумя точками. Но в нашем случае точка D лежит в плоскости Н, и поэтому, как говорят, она сама себе тень. Поэтому надо построить лишь тень от другого конца шеста, именно от точки Сс. Проводим сначала через С луч в пространстве параллельно диагонали Lx и затем проекции его — через с параллельно ух, а через с' — параллельно zx. Находим точку М_с встречи луча СМ_С с плоскостью Н на пересечении луча СМ_С с его горизонтальной проекцией сМ_с и затем точку N_c встречи того же луча с плоскостью V на пересечении луча CN_C с его проекцией c'N_c на V. Точки М_с и N_с, как видно, — следы нашего луча на Н и V. Соединяя точку Dd с точкой М_с, мы и получаем тень, падающую от шеста CD на плоскость H; эта тень, в сущности, представляет след R_h плоскости R, образованной лучом СМ и шестом CD. Но такая тень была бы, если бы не было плоскости V, как экрана, который стоит на пути следования лучей из С и ближайших к ней точек шеста. И мы видим, что фактически луч из С, раньше чем дойти до плоскости H, встречает на пути плоскость V в точке N_c; следовательно, тень от CD в точке r_х пересечения DM_c с Ох

фактически преломится и пойдет по V в точку N_c. Линия r_хN_с будет представлять вертикальный след R лучевой плоскости DCM_C. Точка преломления r_х есть точка схода следов лучевой плоскости R.

Строим теперь тени на Н и V от пластинки ABS. Таккак эта пластинка своим основанием АВ сливается с плоскостью Н, то АВ сама себе тень на Н. Остается построить тень Ms от вершины S на плоскость H. Проводим луч SM_S || Lx, его горизонтальную проекцию SM_s || yx и вертикальную проекцию s'N_s || zx. Находим следы M_s и N_s этого луча на пересечении луча с его проекциями и, соединяя точку M_s с точками А и В, получаем тень на Н от пластинки в форме треугольника M_SAB. При этом линии AM_S и BM_S, в сущности, представляют горизонтальные следы Q_h и P_h лучевых плоскостей Q и Р, проходящих через боковые кромки пластинки. Поэтому можно отметить на оси Ох точки q_x и р_х схода следов плоскостей Р и Q и соединить их с точкой N_s на V. Тогда мы получим преломление на V тени от пластинки в виде треугольника q_xN_sр_х, причем линия q_xN_s будет следом Q_V, а линия р_хN будет следом P_V лучевых плоскостей Q и Р.

Остается построить тень, падающую от шеста CD на пластинку ABS. Эта тень определится двумя точками, причем одна точка уже имеется: это точка g пересечения тени DM_C шеста с основанием пластинки АВ. В качестве второй теневой точки найдем точку К на правой кромке пластинки. Это так называемая точка исчезновения тени: в ней тень от шеста на пластинке соскакивает с плоскости пластинки (исчезает). Чтобы найти точку К, достаточно провести обратный луч k1К из точки k1 пересечения теней DM_C и BM_S до встречи с кромкой BS пластинки. Этот обратный луч при правильном построении должен пройти через точку k₂ пересечения теней r _x N_c и p_XN_S на плоскости V. Это станет понятным, если учесть, что обратный луч k₁K есть не что иное, как

линия пересечения двух лучевых плоскостей, именно плоскости DCM_C и плоскости BSM_S. Для определения такой линии сечения достаточно найти одну точку k₁ как точку пересечения горизонтальных следов названных плоскостей, или же одну точку k₂, как точку пересечения вертикальных следов тех же плоскостей. Это вытекает еще из того, что пересекаемые плоскости образованы или произведены параллельными между собой лучами и должны, поэтому иметь своей линией сечения один из лучей. Впрочем, для определения точки К можно рассуждать и так. Точка K, есть тень от какой-то точки шеста CD, именно от точки Т, лежащей на обратном луче, потому что точки Т и К имеют общую тень t₁k₁ на плоскости Н (раз тени линий CD и BS на H пересекаются). Стало быть, точки Т и К лежат на общем луче, и тень от Т будет на пластинке в точке К. Наконец, точку К можно было бы найти, как точку встречи линии BS с лучевой плоскостью DCM_C.

Выходит, что если имеются две скрещивающиеся в пространстве линии BS и DC и требуется построить тень К, падающую от одной линии на другую, то надо сначала построить тени, падающие от обеих линий на Н или V. Если при этом полученные тени пересекаются (как в нашем случае), то от одной линии на другую будет падать тень, а если полученные тени не пересекаются, то тень от одной линии на другую не падает.

Проведя затем обратный луч из точки пересечения падающих теней, мы и получаем на пересечении его с рассматриваемыми линиями точки типа, К и Т, отбрасывающие общую тень.

Все указанные построения произведены на эпюре, на рис. 1, б. Следует обратить внимание на эпюре на то, что: 1) проекции лучей света направлены под углом 45° к Ох, 2) вследствие этого точки М_с и N_c на эпюре всегда будут на одной горизонтали, равно как и точки Ns и Ms, 3) вертикальные проекции лучей, проходящие через точки с' и s',

случайно совпали, 4) на эпюре можно получить сначала точку k на линии, идущей на плане из k1 под углом 45°, а затем точку k', или можно, наоборот, получить сначала точку k' на линии, идущей на фасаде из k₂ под углом 45°, и затем точку k на перпендикуляре к Ох.

Далее, следует обратить внимание на видимость теней на эпюре. Так как пластинка считается непрозрачной, то она закрывает собою часть тени на плане и часть тени на фасаде (тень лежит на Н и на V, а пластинка находится над Н и спереди V). В данном на рис. 1 случае зритель видит освещенную сторону пластинки. Если бы пластинка, оставаясь совмещенной своим основанием с плоскостью Н, отклонилась своей вершиной S назад, в сторону источника света, то точка S могла бы спроецироваться на Н не за линией ab, а спереди ее, и тогда мы увидели бы на плане теневую сторону пластинки. На эпюре это обнаружилось бы тем, что буквы, обозначающие фигуру тени на плане по алфавиту, шли бы не в том порядке, как на горизонтальной проекции пластинки, а в обратном порядке, Именно, сейчас обход букв на плане можно произвести в алфавитном порядке, идя против хода часовой стрелки, как на теневом треугольнике, так и на плане пластинки. При отклонении же точки s в плане назад, ниже линии ab, обход букв на тени остался бы тот же, а на плане пластинки он был бы уже направлен по ходу часовой стрелки. При указываемом отклонении вершины S назад плоскость пластинки может в процессе отклонения совпасть с лучом, идущим через вершину S. Тогда, очевидно, тень на плоскости Н уже не будет представлять треугольник, как сейчас, а сольется с основанием пластинки ab, превратившись в одну прямую линию. В таком случае, когда лучи света скользят по пластинке, условились считать пластинку темной (неосвещенной) как на плане, так и на фасаде. При дальнейшем отклонении вершины S назад тень на Н от пластинки будет падать опять в форме треугольника, но не назад, за линию ab, а спереди,

ближе к источнику света. В этом случае на плане мы будем видеть освещенную сторону пластинки, а на фасаде — затемненную.